Какова длина ступенчатого стального бруса, нагруженного силами F1=10кН и F2=18кН, если площадь сечения A1=1,8

Skolzkiy_Pingvin_1294

58

Задача: Какова длина ступенчатого стального бруса, нагруженного силами \(F_1 = 10 \, \text{кН}\) и \(F_2 = 18 \, \text{кН}\), если площадь сечения \(A_1 = 1.8 \, \text{см}^2\) и \(A_2 = 2.6 \, \text{см}^2\)? Необходимо построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений сечений по длине бруса. Какое будет перемещение \(\Delta l\) свободного конца бруса при \(E = 2 \times 10^5 \, \text{МПа}\)? Также нужно проанализировать прочность при допускаемых напряжениях \(160 \, \text{МПа}\).

Решение:

1. Рассчитаем нормальные напряжения на каждом сечении бруса:

Напряжение \(\sigma\) в стержне можно найти с помощью формулы:
\[\sigma = \frac{F}{A}\]
где \(F\) - сила, действующая на стержень, а \(A\) - площадь поперечного сечения стержня.

Напряжение на сечении 1:
\[\sigma_1 = \frac{F_1}{A_1} = \frac{10 \, \text{кН}}{1.8 \, \text{см}^2}\]

Напряжение на сечении 2:
\[\sigma_2 = \frac{F_2}{A_2} = \frac{18 \, \text{кН}}{2.6 \, \text{см}^2}\]

2. Построение эпюры продольных сил:

Для построения эпюры продольных сил необходимо найти суммарную продольную силу для каждого сечения бруса.

Суммарная продольная сила на сечении 1:
\[N_1 = F_1\]

Суммарная продольная сила на сечении 2:
\[N_2 = F_1 + F_2\]

Эпюра продольных сил представлена на графике, где по горизонтальной оси отложена длина бруса, а по вертикальной оси - суммарная продольная сила.

3. Построение эпюры нормальных напряжений:

Для построения эпюры нормальных напряжений необходимо использовать найденные ранее значения напряжений на каждом сечении бруса.

Эпюра нормальных напряжений представлена на графике, где по горизонтальной оси отложена длина бруса, а по вертикальной оси - нормальное напряжение.

4. Расчет перемещений сечений по длине бруса:

Расчет перемещений сечений по длине бруса можно выполнить с использованием формулы:
\[\Delta l = \frac{F \cdot l}{A \cdot E}\]
где \(l\) - длина бруса, \(E\) - модуль упругости материала (в данном случае стали).

Перемещение свободного конца бруса (\(\Delta l\)) можно найти для каждого сечения:

Перемещение на сечении 1:
\[\Delta l_1 = \frac{F_1 \cdot l}{A_1 \cdot E}\]

Перемещение на сечении 2:
\[\Delta l_2 = \frac{(F_1 + F_2) \cdot l}{A_2 \cdot E}\]

5. Анализ прочности при допускаемых напряжениях:

Для анализа прочности необходимо сравнить найденные ранее значения напряжений (\(\sigma\)) с допускаемым напряжением (\(\sigma_{\text{доп}}\)).

Если \(\sigma > \sigma_{\text{доп}}\), то конструкция не удовлетворяет требованиям прочности.

В данном случае, для прочности бруса с допускаемым напряжением \(160 \, \text{МПа}\), проведем следующие проверки:
- \(\sigma_1 \leq 160 \, \text{МПа}\)
- \(\sigma_2 \leq 160 \, \text{МПа}\)

Если оба условия выполняются, то конструкция прочна.

Не забудьте, что в данном ответе используется максимально подробное объяснение, чтобы его понимали школьники.