Какова длина вектора AV, если длины векторов AC и AV равны 6 и 7 соответственно, а косинус угла между ними равен 5/7?

Алла

2

Чтобы определить длину вектора AV, мы можем использовать формулу для нахождения длины вектора, основанную на косинусе угла и длинах векторов AC и AV. Формула имеет следующий вид:

\[
\lVert\overrightarrow{AV}\rVert = \sqrt{\lVert\overrightarrow{AC}\rVert^2 + \lVert\overrightarrow{CV}\rVert^2 - 2 \cdot \lVert\overrightarrow{AC}\rVert \cdot \lVert\overrightarrow{CV}\rVert \cdot \cos(\theta)}
\]

Где:
- \(\lVert\overrightarrow{AV}\rVert\) - длина вектора AV (что мы пытаемся найти),
- \(\lVert\overrightarrow{AC}\rVert\) - длина вектора AC (6),
- \(\lVert\overrightarrow{CV}\rVert\) - длина вектора CV, которую мы также должны найти,
- \(\theta\) - угол между векторами AC и AV (используем косинус этого угла для вычисления).

Теперь давайте подставим известные значения в формулу:

\[
\lVert\overrightarrow{AV}\rVert = \sqrt{6^2 + \lVert\overrightarrow{CV}\rVert^2 - 2 \cdot 6 \cdot \lVert\overrightarrow{CV}\rVert \cdot \frac{5}{7}}
\]

Мы знаем, что длина вектора CV равна 7 (длина вектора AV), поэтому можем подставить эту информацию:

\[
\lVert\overrightarrow{AV}\rVert = \sqrt{6^2 + 7^2 - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \frac{5}{7}}
\]

Теперь вычислим это выражение:

\[
\lVert\overrightarrow{AV}\rVert = \sqrt{36 + 49 - 60} = \sqrt{25} = 5
\]

Итак, длина вектора AV равна 5.