Какова энергия взаимодействия между согнутым в дугу окружности непроводящим равномерно заряженным стержнем, с градусной

Снежинка

45

Для решения данной задачи нам потребуется определить энергию взаимодействия между согнутым в дугу окружности непроводящим равномерно заряженным стержнем и точечным зарядом, размещенным в центре дуги.

Так как стержень имеет форму дуги окружности, для нахождения энергии взаимодействия воспользуемся методом интегрирования. Предположим, что экспериментальная установка находится в плоскости, перпендикулярной оси стержня и проходящей через центр окружности.

Разделим дугу окружности на элементарные частицы Delta q и возьмем произвольный элемент Delta x на дуге. Каждому элементу Delta q будет соответствовать элементарная длина дуги Delta s.

Обозначим элементарное расстояние между элементарной частицей Delta q и точечным зарядом q как r. Так как стержень равномерно заряжен, заряд Delta q можно выразить через зарядовую плотность ρ следующим образом: Delta q = ρ * Delta s.

Теперь, используя закон Кулона для определения силы взаимодействия между элементарными частицами, можем записать следующее:

Delta W = k * (Delta q * q) / r,

где k - постоянная Кулона, равная k = 1 / (4πε₀), a ε₀ - электрическая постоянная.

Общая энергия взаимодействия W будет являться суммой энергий всех элементарных частиц Delta W:

W = Σ Delta W.

Для получения ответа, нам нужно проинтегрировать это выражение от -50° до 50°, так как стержень согнутый и его дуга имеет градусную меру 100°.

Интегрирование этого выражения может быть достаточно сложным, поэтому воспользуемся методом приближенного интегрирования. Для этого заменим сумму на интеграл и вычислим его значения при помощи интеграла Римана:

W ≈ ∫ (k * (ρ * Δs * q) / r) dθ,

где Δs = r * dθ - элементарный дуговой элемент длины (т.е. производная r по θ, где θ - угол между элементарной частицей и осью стержня).

Добавим пределы интегрирования -50° и 50°:

W ≈ ∫ (k * (ρ * r * dθ * q) / r) | от -50° до 50°.

Заметим, что r и q являются константами в данной задаче, поэтому можно упростить выражение:

W ≈ k * (ρ * r * q) * ∫ dθ | от -50° до 50°.

Результатом интегрирования dθ будет просто θ:

W ≈ k * (ρ * r * q) * (θ_2 - θ_1) | от -50° до 50°,

где θ_2 и θ_1 - значения угла θ при пределах интегрирования.

Так как у нас есть данные о градусной мере дуги (100°) и радиусе R, можно выразить θ_2 и θ_1 используя соответствующие геометрические соотношения для дуги на окружности:

θ_2 = 50°,
θ_1 = -θ_2 = -50°.

Подставим значения в выражение для W:

W ≈ k * (ρ * r * q) * (θ_2 - θ_1) | от -50° до 50°,
W ≈ k * (q/R) * (2 * 50°) | от -50° до 50°.

Очистим выражение от размерностей и округлим безразмерный числовой коэффициент до двух значащих цифр:

W ≈ (1 / (4πε₀)) * (q/R) * (2 * 50°),
W ≈ (1 / (4πε₀)) * (q/R) * 100°,
W ≈ (q/R) * (100 / (4πε₀)).

Таким образом, энергия взаимодействия между согнутым в дугу окружности непроводящим равномерно заряженным стержнем и точечным зарядом размещенным в центре дуги равна (q/R) * (100 / (4πε₀)).