Какова форма графика функции y=x^2-2x+1?

Mark

54

Чтобы нарисовать график функции \(y = x^2 - 2x + 1\), мы можем использовать несколько методов.

Метод 1: Нахождение вершины параболы.

Для того чтобы вычислить координаты вершины параболы, мы можем воспользоваться формулой \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты при \(x^2\) и \(x\) соответственно.

В данном случае, у нас есть функция \(y = x^2 - 2x + 1\), где \(a = 1\) и \(b = -2\).

Используя формулу, мы можем найти \(x\):
\[x = -\frac{-2}{2\cdot 1} = 1.\]

Чтобы найти \(y\) в вершине параболы, мы можем подставить \(x = 1\) обратно в исходную функцию:
\[y = (1)^2 - 2\cdot (1) + 1 = 0.\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \((1, 0)\).

Метод 2: Определение типа параболы и направления.

С учетом коэффициента \(a = 1\), который является положительным, парабола открывается вверх. Так как \(a > 0\), это означает, что функция имеет минимум в вершине параболы, которая является точкой \((1, 0)\).

Таким образом, у нас есть парабола, открытая вверх, с вершиной в точке \((1, 0)\).

Метод 3: Построение дополнительных точек и построение графика.

Чтобы построить график функции, мы можем выбрать несколько значений \(x\) и вычислить соответствующие значения \(y\) для них. Давайте выберем несколько значений для \(x\) и вычислим \(y\):

1. Когда \(x = 0\):
\[y = (0)^2 - 2\cdot (0) + 1 = 1.\]
Таким образом, у нас есть точка \((0, 1)\).

2. Когда \(x = 2\):
\[y = (2)^2 - 2\cdot (2) + 1 = 1.\]
Таким образом, у нас есть точка \((2, 1)\).

3. Когда \(x = -1\):
\[y = (-1)^2 - 2\cdot (-1) + 1 = 4.\]
Таким образом, у нас есть точка \((-1, 4)\).

Мы можем использовать эти точки, включая вершину параболы \((1,0)\), чтобы построить график функции.

Вот график функции \(y = x^2 - 2x + 1\):

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines=middle,
xlabel=\(x\),
ylabel=\(y\),
xmin=-2,
xmax=4,
ymin=-1,
ymax=5,
xtick={-1,0,1,2},
ytick={0,1,4},
xticklabels={\(-1\),0,1,2},
yticklabels={0,1,4},
width=10cm,
height=8cm,
]
\addplot[blue,domain=-1.5:3.5,samples=100] {x^2 - 2*x + 1};
\addplot[red,mark=*] coordinates {(1,0)};
\addplot[red,mark=*] coordinates {(0,1)};
\addplot[red,mark=*] coordinates {(-1,4)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Таким образом, график функции \(y = x^2 - 2x + 1\) представляет собой параболу, открытую вверх, с вершиной в точке \((1, 0)\), и проходящую через точки \((0, 1)\) и \((-1, 4)\).