Какова функция распределения случайной величины Х со следующей плотностью: 0 при х ⩽ П/6, f(x)={ 3sin3x при П/6 <

Пеликан

25

Для начала необходимо определить функцию распределения случайной величины \(X\). Функция распределения, обозначим ее как \(F(x)\), определяется как вероятность того, что случайная величина \(X\) принимает значение, меньшее или равное \(x\).

В данном случае у нас есть плотность вероятности \(f(x)\), которая состоит из трех участков. Давайте рассмотрим каждый из них по отдельности.

На первом участке, где \(x \leq \frac{\pi}{6}\), функция плотности вероятности равна нулю, поэтому вероятность того, что случайная величина \(X\) примет значение меньше или равное этому участку, равна нулю. То есть \(F(x) = 0\) для \(x \leq \frac{\pi}{6}\).

На втором участке, где \(\frac{\pi}{6} < x \leq \frac{\pi}{3}\), функция плотности вероятности равна \(3\sin^3(x)\). Чтобы найти вероятность, что случайная величина \(X\) примет значение меньше или равное \(x\) на данном участке, необходимо проинтегрировать функцию плотности вероятности от \(\frac{\pi}{6}\) до \(x\):
\[
F(x) = \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} 3\sin^3(t) dt
\]

На третьем участке, где \(x > \frac{\pi}{3}\), функция плотности вероятности равна нулю, поэтому вероятность того, что случайная величина \(X\) примет значение меньше или равное этому участку, также равна нулю. То есть \(F(x) = 0\) для \(x > \frac{\pi}{3}\).

Таким образом, функция распределения случайной величины \(X\) имеет следующий вид:
\[
F(x) = \begin{cases}
0, & \text{для } x \leq \frac{\pi}{6} \\
\int_{\frac{\pi}{6}}^{x} 3\sin^3(t) dt, & \text{для } \frac{\pi}{6} < x \leq \frac{\pi}{3} \\
0, & \text{для } x > \frac{\pi}{3}
\end{cases}
\]

Для вычисления определенного интеграла от \(3\sin^3(t)\) мы можем использовать методы численного интегрирования, например, метод трапеций или метод Симпсона.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять, как получить функцию распределения для данной случайной величины \(X\). Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!