Какова градусная мера дуги окружности, ограничивающей сектор круга с радиусом 6, если площадь этого сектора равна

Водопад

9

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать знание связи между мерой угла в радианах и мерой дуги окружности. Обозначим градусную меру искомой дуги как \(x\).

Сначала найдем площадь всей окружности с радиусом 6. Формула для площади окружности выглядит следующим образом:

\[S_{\text{окр}} = \pi r^2\]

Подставив значение радиуса в формулу, получим:

\[S_{\text{окр}} = \pi \cdot 6^2 = 36\pi\]

Теперь, чтобы найти меру угла в радианах, соответствующую данному сектору, мы будем использовать формулу для нахождения отношения площади сектора к площади всей окружности:

\[\frac{S_{\text{сектора}}}{S_{\text{окр}}} = \frac{x}{360^\circ} = \frac{x}{2\pi}\]

Подставив известные значения, получим:

\[\frac{\text{площадь сектора}}{36\pi} = \frac{x}{2\pi}\]

Упростим данное уравнение, перекрестно умножив:

\[2\pi \cdot \text{площадь сектора} = 36\pi \cdot x\]

Здесь заметим, что множители \(\pi\) в формуле сокращаются. Остается:

\[2 \cdot \text{площадь сектора} = 36 \cdot x\]

Теперь делим обе части уравнения на 2:

\[\text{площадь сектора} = 18 \cdot x\]

Подставим значение площади сектора, равное искомой площади, и решим уравнение:

\[18 \cdot x = 36\pi\]

Делим обе части уравнения на 18:

\[x = 2\pi\]

Таким образом, градусная мера дуги окружности, ограничивающей сектор круга с радиусом 6 и площадью \(\text{площадь сектора}\), равна \(2\pi\) или примерно \(6.283\) радианов.