Какова индукция магнитного поля в точке М, находящейся на расстоянии d от одного из проводников, при условии

Летающий_Космонавт

40

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать закон Био-Савара-Лапласа, который описывает индукцию магнитного поля, создаваемого проводником с током в точке М. Формула для индукции магнитного поля в таком случае выглядит следующим образом:

\[B = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{i \cdot dl \times \vec{r}}}{{r^3}}\]

Где:
- \(B\) - индукция магнитного поля в точке М,
- \(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(4\pi \times 10^{-7} \, Тл/А \cdot м\)),
- \(i\) - ток в проводнике,
- \(dl\) - элементарный участок проводника,
- \(\vec{r}\) - радиус-вектор из элементарного участка проводника до точки М,
- \(r\) - расстояние между элементарным участком и точкой М.

Итак, у нас есть два проводника с токами \(i_1 = 0.895 \, А\) и \(i_2 = 0.45 \, А\), расстояние между ними \(АВ = 0.1 \, м\) и мы хотим найти индукцию магнитного поля в точке М, находящейся на расстоянии \(d\) от одного из проводников.

Чтобы решить задачу, необходимо разбить систему проводников на элементарные участки (dl), рассчитать векторное произведение \(dl \times \vec{r}\) для каждого элементарного участка и сложить вклад каждого элементарного участка в индукцию магнитного поля в точке М. Получившуюся сумму мы и примем за искомую индукцию магнитного поля.

Поскольку требуется максимальная детализация, я предоставлю полный расчет для одного проводника, а для второго проведу только итоговые шаги, чтобы не ухудшать читабельность.

1. Рассмотрим первый проводник с током \(i_1 = 0.895 \, А\). Разобьем его на элементарные участки длиной \( dl \). Выберем произвольный элементарный участок и рассчитаем векторное произведение \( dl \times \vec{r} \).

2. Поскольку расстояние М довольно большое, в дальнейшем расчете векторное произведение \( dl \times \vec{r} \) может быть выражено в виде \( dl \times \vec{r} = dl \cdot r \), где \( dl \) - длина элементарного участка, \( r \) - расстояние между элементарным участком и точкой М.

3. Таким образом, мы можем записать формулу для индукции магнитного поля в точке М для первого проводника:

\[dB_1 = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{i_1 \cdot dl \cdot r}}{{r^3}}\]

4. Теперь примем во внимание, что \(r\) - геометрическое расстояние между элементарным участком и точкой М, а \(d\) - расстояние между точкой М и одним из проводников. Так как расстояние между проводниками \(АВ = 0.1 \, м\), то для первого проводника \(r_1 = \sqrt{d^2 + (АВ)^2}\).

5. Таким образом, мы можем переписать формулу для первого проводника:

\[dB_1 = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{i_1 \cdot dl \cdot \sqrt{d^2 + (АВ)^2}}}{{(d^2 + (АВ)^2)^{3/2}}}\]

6. Теперь мы интегрируем это выражение по длине проводника для получения индукции магнитного поля от первого проводника. При интегрировании учтем, что приращение длины элементарного участка равно \(dl\), а длина проводника \(L = АВ = 0.1 \, м\).

\[B_1 = \int dB_1 = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{i_1}}{{(d^2 + (АВ)^2)^{3/2}}} \int dl\]

7. Мы интегрируем по всей длине проводника \(L = 0.1 \, м\). Поэтому

\[B_1 = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{i_1}}{{(d^2 + (АВ)^2)^{3/2}}} \cdot L = \frac{{\mu_0 \cdot i_1 \cdot L}}{{4\pi \cdot (d^2 + (АВ)^2)^{3/2}}}\]

8. Таким же образом можно провести расчет для второго проводника с током \(i_2\). Результат будет иметь следующий вид:

\[B_2 = \frac{{\mu_0 \cdot i_2 \cdot L}}{{4\pi \cdot (d^2 + (АВ)^2)^{3/2}}}\]

9. Наконец, итоговая индукция магнитного поля в точке М будет равна сумме индукций магнитного поля от каждого проводника:

\[B = B_1 + B_2 = \frac{{\mu_0 \cdot i_1 \cdot L}}{{4\pi \cdot (d^2 + (АВ)^2)^{3/2}}} + \frac{{\mu_0 \cdot i_2 \cdot L}}{{4\pi \cdot (d^2 + (АВ)^2)^{3/2}}}\]

10. Подставляя известные значения, получаем итоговый ответ:

\[B = \frac{{\mu_0 \cdot (i_1 + i_2) \cdot L}}{{4\pi \cdot (d^2 + (АВ)^2)^{3/2}}}\]

Это и есть искомая формула для индукции магнитного поля в точке М при заданных условиях. Надеюсь, это решение помогло вам понять, как получить результат. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Желаю успехов в изучении физики!