Какова масса человека (в кг), если платформа, представленная в виде сплошного диска с массой 240 кг и угловой скоростью

Морской_Шторм

51

Для решения данной задачи нам понадобится закон сохранения углового момента. Изначально платформа вращается с угловой скоростью \(\omega_1 = 3 \, \text{рад/с}\) и имеет массу \(M = 240 \, \text{кг}\), а после того, как человек перемещается на край платформы, платформа замедляется в 1,5 раза, что означает, что новая угловая скорость платформы будет равна \(\omega_2 = \frac{\omega_1}{1,5} = 2 \, \text{рад/с}\). Теперь наша задача заключается в определении массы человека.

Для начала посчитаем момент инерции платформы. Для сплошного диска момент инерции вычисляется по формуле \(I = \frac{1}{2}MR^2\), где \(M\) - масса диска, \(R\) - радиус диска. В нашем случае платформа представляет собой диск, поэтому её момент инерции будет равен:

\[I = \frac{1}{2} \cdot 240 \, \text{кг} \cdot R^2.\]

Теперь, чтобы определить массу человека, воспользуемся законом сохранения углового момента: \(I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2\), где \(I_1\) и \(I_2\) - моменты инерции платформы до и после перемещения человека соответственно.

Учитывая, что момент инерции человека можно считать материальной точкой, то есть \(I_{\text{чел}} = m_{\text{чел}} \cdot R^2\), где \(m_{\text{чел}}\) - масса человека, и заменяя значения в формуле, получаем:

\[\frac{1}{2} \cdot 240 \, \text{кг} \cdot R^2 \cdot 3 \, \text{рад/с} = m_{\text{чел}} \cdot R^2 \cdot 2 \, \text{рад/с}.\]

Из этого уравнения мы можем сразу увидеть, что радиус диска \(R\) сократится и не влияет на решение, поэтому можем смело избавиться от него:

\[\frac{1}{2} \cdot 240 \, \text{кг} \cdot 3 \, \text{рад/с} = m_{\text{чел}} \cdot 2 \, \text{рад/с}.\]

Теперь остается только решить это уравнение относительно массы человека \(m_{\text{чел}}\):

\[m_{\text{чел}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 240 \, \text{кг} \cdot 3 \, \text{рад/с}}{2 \, \text{рад/с}}.\]

Выполняя указанные вычисления, получаем:

\[m_{\text{чел}} = 360 \, \text{кг}.\]

Таким образом, масса человека равна 360 кг.