Какова масса человека (в кг), если платформа, представленная в виде сплошного диска с массой 240 кг и угловой скоростью

Морской_Шторм

51

Для решения данной задачи нам понадобится закон сохранения углового момента. Изначально платформа вращается с угловой скоростью ${\omega }_1=3\text{рад/с}$ и имеет массу $M=240\text{кг}$, а после того, как человек перемещается на край платформы, платформа замедляется в 1,5 раза, что означает, что новая угловая скорость платформы будет равна ${\omega }_2=\frac{{\omega }_1}{1,5}=2\text{рад/с}$. Теперь наша задача заключается в определении массы человека.

Для начала посчитаем момент инерции платформы. Для сплошного диска момент инерции вычисляется по формуле $I=\frac{1}{2}M{R}^2$, где $M$ - масса диска, $R$ - радиус диска. В нашем случае платформа представляет собой диск, поэтому её момент инерции будет равен:

$$I=\frac{1}{2}\cdot 240\text{кг}\cdot R^2.$$

Теперь, чтобы определить массу человека, воспользуемся законом сохранения углового момента: $I_1\cdot {\omega }_1=I_2\cdot {\omega }_2$, где $I_1$ и $I_2$ - моменты инерции платформы до и после перемещения человека соответственно.

Учитывая, что момент инерции человека можно считать материальной точкой, то есть $I_{\text{чел}}=m_{\text{чел}}\cdot R^2$, где $m_{\text{чел}}$ - масса человека, и заменяя значения в формуле, получаем:

$$\frac{1}{2}\cdot 240\text{кг}\cdot R^2\cdot 3\text{рад/с}=m_{\text{чел}}\cdot R^2\cdot 2\text{рад/с}.$$

Из этого уравнения мы можем сразу увидеть, что радиус диска $R$ сократится и не влияет на решение, поэтому можем смело избавиться от него:

$$\frac{1}{2}\cdot 240\text{кг}\cdot 3\text{рад/с}=m_{\text{чел}}\cdot 2\text{рад/с}.$$

Теперь остается только решить это уравнение относительно массы человека $m_{\text{чел}}$:

$$m_{\text{чел}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 240\text{кг}\cdot 3\text{рад/с}}{2\text{рад/с}}.$$

Выполняя указанные вычисления, получаем:

$$m_{\text{чел}}=360\text{кг}.$$

Таким образом, масса человека равна 360 кг.