Какова масса метеорологического зонда, который был запущен с Земли и должен подняться на высоту между 30 и 40

Жанна

66

Для решения данной задачи нам понадобятся следующие физические законы: закон Архимеда и второй закон Ньютона.

Закон Архимеда гласит, что на тело, погруженное в жидкость или газ, действует сила, равная весу вытесненной этой жидкостью или газом силы. Формула для вычисления этой силы выглядит следующим образом:

\[F_{\text{Арх}} = \rho_{\text{жидк}} \cdot g \cdot V\]

где \(F_{\text{Арх}}\) - сила Архимеда, \(\rho_{\text{жидк}}\) - плотность среды, в которой находится тело, \(g\) - ускорение свободного падения, \(V\) - объем вытесненной среды.

Зная, что сила Архимеда равна 25,7 Н, а ускорение свободного падения составляет 9,8 м/с², мы можем вычислить объем вытесненной среды:

\[V = \frac{F_{\text{Арх}}}{\rho_{\text{жидк}} \cdot g}\]

Теперь нам нужно вычислить плотность среды на высоте между 30 и 40 км. Эта плотность меняется с высотой.

Плотность воздуха \( \rho \) зависит от высоты над уровнем моря \( h \) по формуле:

\[ \rho = \rho_0 \cdot \left(1 - \frac{ah}{T_0}\right)^{\frac{gM}{aR}-1}\]

где \( \rho_0 \) - плотность воздуха на уровне моря, \( a \) - температурный градиент, \( T_0 \) - температура на уровне моря (в Кельвинах), \( g \) - ускорение свободного падения, \( M \) - молярная масса воздуха, \( R \) - универсальная газовая постоянная.

Определим значение плотности воздуха на высоте между 30 и 40 км:

\[ \rho = \rho_0 \cdot \left(1 - \frac{ah}{T_0}\right)^{\frac{gM}{aR}-1}\]

Теперь можно найти объем вытесненной среды:

\[V = \frac{F_{\text{Арх}}}{\rho \cdot g}\]

Подставив известные значения в формулы, мы можем вычислить массу зонда:

\[m = \rho \cdot V\]

Для вычисления ускорения движения зонда в момент взлета воспользуемся вторым законом Ньютона:

\[F_{\text{тяж}} = m \cdot g_{\text{эфф}}\]

где \(F_{\text{тяж}}\) - сила тяжести, \(m\) - масса зонда, \(g_{\text{эфф}}\) - эффективное ускорение свободного падения (указанное в условии задачи).

Теперь давайте вычислим все значения.

Плотность воздуха на между 30 и 40 км вычисляется по формуле:

\[ \rho = \rho_0 \cdot \left(1 - \frac{ah}{T_0}\right)^{\frac{gM}{aR}-1}\]

Значения констант:

\(\rho_0 = 1.225 \, \text{кг/м}^3\) - плотность воздуха на уровне моря,

\(a = -0.0065 \, \text{К/м}\) - температурный градиент,

\(T_0 = 288.15 \, \text{K}\) - температура на уровне моря,

\(g = 9.8 \, \text{м/с}^2\) - ускорение свободного падения,

\(M = 0.0289652 \, \text{кг/моль}\) - молярная масса воздуха,

\(R = 8.31447 \, \text{Дж/(моль К)}\) - универсальная газовая постоянная.

\[ \rho = 1.225 \cdot \left(1 - \frac{-0.0065 \cdot 35000}{288.15}\right)^{\frac{9.8 \cdot 0.0289652}{-0.0065 \cdot 8.31447}-1}\]

Результат:

\[ \rho \approx 0.364 \, \text{кг/м}^3\]

Теперь можем вычислить объем вытесненной среды:

\[V = \frac{F_{\text{Арх}}}{\rho \cdot g}\]

Подставляя известные значения:

\[V = \frac{25.7}{0.364 \cdot 9.8}\]

Результат:

\[V \approx 7.25 \, \text{м}^3\]

Наконец, можно вычислить массу зонда:

\[m = \rho \cdot V\]

Подставляя известные значения:

\[m = 0.364 \cdot 7.25\]

Результат:

\[m \approx 2.64 \, \text{кг}\]

Таким образом, масса метеорологического зонда составляет около 2.64 кг.

Для вычисления ускорения движения зонда в момент взлета воспользуемся вторым законом Ньютона:

\[F_{\text{тяж}} = m \cdot g_{\text{эфф}}\]

Подставляя известные значения:

\[g_{\text{эфф}} = \frac{F_{\text{тяж}}}{m}\]

\[g_{\text{эфф}} = \frac{mg + F_{\text{Арх}}}{m}\]

\[g_{\text{эфф}} = g + \frac{F_{\text{Арх}}}{m}\]

Подставляя числовые значения:

\[g_{\text{эфф}} = 9.8 + \frac{25.7}{2.64}\]

Результат:

\[g_{\text{эфф}} \approx 19.74 \, \text{м/с}^2\]

Таким образом, ускорение движения зонда в момент взлета составляет примерно 19.74 м/с².