Какова масса сегмента стержня от 1 до 2, если его плотность изменяется в соответствии с функцией p(x) = 4x^2 + 5x

Смешарик

55

Для решения этой задачи мы можем использовать определенный интеграл, чтобы найти массу сегмента стержня от точки 1 до точки 2.

Сначала мы знаем, что плотность стержня изменяется в соответствии с функцией \(p(x) = 4x^2 + 5x\), где \(x\) - расстояние от начала стержня.

Чтобы найти массу сегмента от точки 1 до точки 2, мы должны интегрировать функцию плотности от 1 до 2. Формула для этого будет следующей:

\[m = \int_{1}^{2} p(x) \, dx\]

Теперь, для решения этого определенного интеграла, мы можем использовать теорию интегралов. Для функции \(p(x) = 4x^2 + 5x\) мы можем найти его первообразную (интеграл) следующим образом:

\[P(x) = \int p(x) \, dx = \int (4x^2 + 5x) \, dx\]

Для вычисления этого интеграла, мы применяем основные правила интегрирования:

1. Интеграл от \(x^n\) равен \(\frac{{x^{n+1}}}{{n+1}}\), где \(n\) - это константа.
2. Интеграл от константы \(c\) равен \(cx\).

Применяя эти правила к нашей функции, получим:

\[P(x) = \int (4x^2 + 5x) \, dx = \frac{{4x^3}}{3} + \frac{{5x^2}}{2} + C\]

Где \(C\) - это постоянная интегрирования.

Теперь, используя эту первообразную, мы можем вычислить интеграл от 1 до 2:

\[m = \left[\frac{{4x^3}}{3} + \frac{{5x^2}}{2} + C\right]_{1}^{2}\]

Подставляем значения вируальгных границ интегрирования:

\[m = \left(\frac{{4 \cdot 2^3}}{3} + \frac{{5 \cdot 2^2}}{2} + C\right) - \left(\frac{{4 \cdot 1^3}}{3} + \frac{{5 \cdot 1^2}}{2} + C\right)\]

Упрощаем выражение и приводим подобные слагаемые:

\[m = \left(\frac{{32}}{3} + \frac{{20}}{2} + C\right) - \left(\frac{{4}}{3} + \frac{{5}}{2} + C\right)\]

Теперь мы можем сократить эту разность и найти относительную массу сегмента от точки 1 до точки 2. Но обратите внимание, что мы не сможем точно найти значение массы без конкретных численных значений для константы \(C\).

Надеюсь, эта подробная информация помогла вам разобраться в решении задачи о массе сегмента стержня от 1 до 2 при изменяющейся плотности стержня. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!