Какова площадь фигуры, ограниченной кривой графика функции f(x) = -x2+ 6x- 5, линиями х = 2, х = 3 и осью абсцисс?

Летучий_Фотограф

10

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом. Сначала нужно найти точки пересечения кривой графика функции \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\) с линиями \(x = 2\) и \(x = 3\). Для этого приравняем \(f(x)\) к нулю и решим уравнение:

\(-x^2 + 6x - 5 = 0\)

Чтобы решить это уравнение, нам понадобится использовать квадратное уравнение или завершить квадрат. Давайте воспользуемся завершением квадрата. Так как коэффициент при \(x^2\) равен -1, мы можем представить \(f(x)\) в виде \(-(x^2 - 6x + 5)\). Чтобы завершить квадрат, нужно найти число, на которое нужно прибавить и вычесть из выражения \(-x^2 + 6x + \_\_\). Это число равно \((\frac{{6}}{2})^2 = 9\), так как половина коэффициента при \(x\) равна 3, и 3 в квадрате равно 9.

Таким образом, \(-x^2 + 6x - 5\) можно записать как \(-(x^2 - 6x + 9 - 9 - 5)\) или \(-(x - 3)^2 + 4 - 5\).

Продолжим уравнение:

\(-(x - 3)^2 - 1 = 0\)

Теперь выразим \(x\):

\(-(x - 3)^2 = 1\)

Домножим оба выражения на -1:

\((x - 3)^2 = -1\)

Поскольку квадрат никогда не может быть отрицательным, данное уравнение не имеет решения. Значит, кривая не пересекает ось абсцисс между \(x = 2\) и \(x = 3\).

Теперь нарисуем график функции \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\) и линий \(x = 2\) и \(x = 3\) для лучшего понимания. Вот графическое изображение:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -\infty & 2 & 3 & +\infty \\
\hline
f(x) & -\infty & 3 & -2 & -\infty \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь вернемся к задаче по нахождению площади фигуры, ограниченной кривой графика функции \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\), линиями \(x = 2\) и \(x = 3\) и осью абсцисс.

Поскольку кривая не пересекает ось абсцисс между \(x = 2\) и \(x = 3\), площадь фигуры будет равна площади фигуры, ограниченной кривой графика функции \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\) и осью абсцисс между \(x = 2\) и \(x = 3\).

Для нахождения площади можем воспользоваться определенным интегралом следующим образом:

\[
\text{Площадь} = \int_{2}^{3} f(x) dx
\]

Давайте вычислим этот определенный интеграл:

\[
\int_{2}^{3} -x^2 + 6x - 5 \, dx = \left[-\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x\right]_{2}^{3}
\]

Теперь вычислим значения интеграла в пределах от 2 до 3:

\[
\left[-\frac{3^3}{3} + 3(3)^2 - 5(3)\right] - \left[-\frac{2^3}{3} + 3(2)^2 - 5(2)\right]
\]

Продолжим вычисления:

\[
\left[-\frac{27}{3} + 27 - 15\right] - \left[-\frac{8}{3} + 12 - 10\right]
\]

\[
\left[-9 + 27 - 15\right] - \left[-\frac{8}{3} + 12 - 10\right]
\]

\[
3 - \left[-\frac{8}{3} + 12 - 10\right]
\]

\[
3 - \left[-\frac{8}{3} + 2\right]
\]

\[
3 - \left[-\frac{8}{3} + \frac{6}{3}\right]
\]

\[
3 - \left[-\frac{2}{3}\right]
\]

\[
3 + \frac{2}{3}
\]

\[
\frac{11}{3}
\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой графика функции \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\), линиями \(x = 2\) и \(x = 3\) и осью абсцисс, равна \(\frac{11}{3}\) или примерно 3.67.

Надеюсь, ответ был достаточно подробным и понятным для вас!