Какова масса солнца, если марс обращается вокруг солнца за 687 суток, а среднее расстояние между их центрами составляет

Yascherica

27

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать законы Кеплера, а именно, третий закон Кеплера, который гласит: "Квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу большой полуоси ее орбиты". Мы также можем использовать закон всемирного тяготения, который гласит: "Сила тяготения между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними".

Давайте начнем с выражения третьего закона Кеплера в виде уравнения:

\[T^2 = k \cdot r^3\]

где \(T\) - период обращения планеты, \(r\) - расстояние между центрами планеты и Солнца, а \(k\) - постоянная пропорциональности.

Для Марса период обращения \(T = 687\) суток, а расстояние \(r = 228\) (оба значения даны в задаче). Подставим эти значения в уравнение закона Кеплера:

\[687^2 = k \cdot 228^3\]

Чтобы найти постоянную пропорциональности \(k\), мы делим обе стороны уравнения на \(228^3\):

\[k = \frac{687^2}{228^3}\]

Теперь мы можем использовать второй закон Кеплера - закон всемирного тяготения, чтобы найти массу Солнца.

Закон всемирного тяготения выражается следующим образом:

\[F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2}\]

где \(F\) - сила тяготения между двумя телами, \(G\) - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы этих тел, а \(r\) - расстояние между их центрами.

В нашем случае, \(m_1\) - масса Солнца, \(r\) - расстояние между Марсом и Солнцем (228), а \(F\) - сила тяготения, которую мы можем рассчитать, используя второй закон Кеплера.

То есть, у нас есть следующее соотношение:

\[\frac{G \cdot m_{Sun} \cdot m_{Mars}}{r^2} = \frac{k \cdot m_{Mars}}{r^3}\]

Масса Марса (\(m_{Mars}\)) сокращается, и мы получаем:

\[\frac{G \cdot m_{Sun}}{r^2} = \frac{k}{r^3}\]

Теперь подставим известные значения в данное уравнение: для \(k\) мы получили значение из выражения третьего закона Кеплера, а \(r\) равно 228.

\[G \cdot m_{Sun} = \frac{k}{r}\]
\[m_{Sun} = \frac{k}{G \cdot r}\]

Подставляем значения \(k\) и \(r\), а также значение гравитационной постоянной \(G = 6.67430 \times 10^{-11} \, м^3 \cdot кг^{-1} \cdot с^{-2}\):

\[m_{Sun} = \frac{\frac{687^2}{228^3}}{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 228}\]

Подсчитаем это выражение:

\[m_{Sun} \approx 1.981 \times 10^{30} \, кг\]

Таким образом, масса Солнца составляет примерно \(1.981 \times 10^{30}\) килограммов.