Какова масса тела, прикрепленного к пружине, если увеличение массы на 60 г приведет к удвоению периода колебания?

Vechnaya_Zima_1784

53

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание основ физики. Период колебания \(T\) зависит от массы \(m\) тела и жесткости \(k\) пружины по формуле:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]

Где \(T\) - период колебания, \(\pi\) - математическая константа (приближенно равна 3.14159), \(m\) - масса тела и \(k\) - жесткость пружины.

Нам дано, что увеличение массы на 60 г (0.06 кг) приводит к удвоению периода колебания. То есть, если изначально период колебания был \(T_0\), то после увеличения массы он станет \(2T_0\).

Мы можем выразить два уравнения:

\(T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m_0}{k}}\) (1)
\(2T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m_0 + 0.06}{k}}\) (2)

Где \(m_0\) - исходная масса тела.

Теперь давайте разрешим уравнение (2) относительно \(m_0 + 0.06\):

\(2T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m_0 + 0.06}{k}}\)

Разделим обе стороны уравнения на 2:

\(T_0 = \pi\sqrt{\frac{m_0 + 0.06}{k}}\)

Возведем обе стороны в квадрат:

\(T_0^2 = \pi^2\frac{m_0 + 0.06}{k}\)

Разделим обе стороны на \(\pi^2\):

\(\frac{T_0^2}{\pi^2} = \frac{m_0 + 0.06}{k}\)

Умножим обе стороны на \(k\):

\(\frac{kT_0^2}{\pi^2} = m_0 + 0.06\)

Вычтем 0.06 со стороны \(m_0\):

\(\frac{kT_0^2}{\pi^2} - 0.06 = m_0\)

Таким образом, мы получили выражение для \(m_0\) - исходной массы тела:

\(m_0 = \frac{kT_0^2}{\pi^2} - 0.06\)

Теперь, если мы знаем жесткость пружины \(k\) (которая может быть предоставлена в условии задачи или в другой информации), и период колебания \(T_0\), мы можем вычислить \(m_0\) - массу тела, присоединенного к пружине.

Обратите внимание, что если нам не даны значения \(k\) и \(T_0\), мы не сможем точно рассчитать массу тела. В таком случае, нам нужна будет дополнительная информация.