Какова минимальная дистанция между пластинами конденсатора, если протон должен войти и вылететь из него с минимальной

Валерия

7

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться законом сохранения энергии. Для того, чтобы протон вошел и вышел из конденсатора с минимальной скоростью, энергия протона должна быть сохранена.

Потенциальная энергия протона в конденсаторе равна работе, которую нужно совершить, чтобы переместить его из одной пластины в другую. Формула для расчета потенциальной энергии в электрическом поле:

\[U = q \cdot V\]

где \(U\) - потенциальная энергия, \(q\) - заряд протона, \(V\) - потенциал между пластинами конденсатора.

Потенциал \(V\) связан с напряженностью электрического поля \(E\) следующим образом:

\[V = E \cdot d\]

где \(d\) - расстояние между пластинами конденсатора.

Следовательно, потенциальная энергия протона можно записать как:

\[U = q \cdot E \cdot d\]

Также известно, что кинетическая энергия протона связана с его скоростью \(v\) следующим образом:

\[K = \frac{1}{2} m \cdot v^2\]

где \(m\) - масса протона.

Используя закон сохранения энергии, приравняем потенциальную и кинетическую энергии протона:

\[U = K\]

\[q \cdot E \cdot d = \frac{1}{2} m \cdot v^2\]

Мы также можем использовать известное соотношение между скоростью протона и его кинетической энергией:

\[v = \sqrt{\frac{2K}{m}}\]

Подставим это выражение в уравнение:

\[q \cdot E \cdot d = \frac{1}{2} m \cdot \left(\sqrt{\frac{2K}{m}}\right)^2\]

Исключим \(K\) из уравнения, используя известное значение скорости \(v\):

\[q \cdot E \cdot d = \frac{1}{2} m \cdot \left(\sqrt{\frac{2 \cdot \frac{1}{2} m \cdot v^2}{m}}\right)^2\]

\[q \cdot E \cdot d = \frac{1}{2} m \cdot \left(\sqrt{v^2}\right)^2\]

\[q \cdot E \cdot d = \frac{1}{2} m \cdot v^2\]

\[q \cdot E \cdot d = K\]

Разделим обе части уравнения на \(q\):

\[E \cdot d = \frac{K}{q}\]

Теперь подставим значения из условия задачи:

\[5200 \, В/м \cdot d = \frac{\frac{1}{2} \cdot 1,67 \times 10^{-27} \, кг \cdot (350 \times 10^3)^2 \, м^2/с^2}{1,6 \times 10^{-19}}\]

Вычисляем правую часть уравнения:

\[5200 \, В/м \cdot d = \frac{1}{2} \cdot 1,67 \times 10^{-27} \cdot (350 \times 10^3)^2 \cdot \frac{1}{1,6 \times 10^{-19}}\]

\[5200 \, В/м \cdot d = \frac{1}{2} \cdot 1,67 \times 10^{-27} \cdot (350 \times 10^3)^2 \cdot 10^{19}\]

\[5200 \, В/м \cdot d = \frac{1}{2} \cdot 1,67 \times 10^{-8} \cdot 350^2 \cdot 10^{19}\]

\[5200 \, В/м \cdot d = \frac{1}{2} \cdot 1,67 \times 10^{-8} \cdot 122500 \cdot 10^{19}\]

\[5200 \, В/м \cdot d = 0,0002 \cdot 1,67 \times 122500 \cdot 10^{11}\]

\[5200 \, В/м \cdot d = 0,0002 \cdot 1,67 \times 122500 \cdot 10^{11}\]

\[5200 \, В/м \cdot d = 0,0002 \cdot 206575 \cdot 10^{11}\]

\[5200 \, В/м \cdot d = 0,041315 \times 10^{11}\]

\[5200 \, В/м \cdot d = 4,1315 \times 10^9\]

Разделим обе части уравнения на 5200 В/м:

\[d = \frac{4,1315 \times 10^9}{5200}\]

Вычисляем результат:

\[d \approx 794,904 \, мм\]

Таким образом, минимальное расстояние между пластинами конденсатора составляет примерно 794,904 мм.