Какова минимальная скорость, с которой лягушка должна прыгнуть, чтобы переместиться на противоположный конец доски

Донна

52

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон сохранения механической энергии. При прыжке лягушка придает пруду импульс в одну сторону, и доска начинает двигаться в противоположную сторону. По закону сохранения импульса, импульс лягушки должен быть равным импульсу доски.

Запишем уравнение сохранения импульса:
\(m_1 \cdot v_1 = m_2 \cdot v_2\),
где \(m_1\) и \(m_2\) - массы лягушки и доски соответственно, а \(v_1\) и \(v_2\) - их скорости.

Так как лягушка прыгает с противоположного конца доски, \(m_1 = M\), а \(m_2 = M + M_{\text{доска}}\), где \(M_{\text{доска}}\) - масса доски.

Используя уравнение сохранения импульса, можем записать:
\(M \cdot v_1 = (M + M_{\text{доска}}) \cdot v_2\).

Теперь рассмотрим энергию системы до и после прыжка. Перед прыжком лягушка находится в покое, поэтому ее кинетическая энергия равна нулю. Доска, плавающая на поверхности пруда, также не имеет начальной кинетической энергии. Поэтому энергия до прыжка равна нулю.

После прыжка лягушка и доска будут двигаться с некоторой скоростью. По закону сохранения энергии, сумма кинетической энергии лягушки и доски должна быть равна нулю до прекращения движения (летим на самую дальнюю точку).

Запишем это в виде уравнения:
\(\frac{1}{2} \cdot M \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot (M + M_{\text{доска}}) \cdot v_2^2 = 0\).

Учитывая, что \(v_1\) и \(v_2\) - скорости лягушки и доски соответственно, мы можем решить это уравнение относительно \(v_1\):

\(\frac{1}{2} \cdot M \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot (M + M_{\text{доска}}) \cdot \left(-\frac{M \cdot v_1}{M + M_{\text{доска}}}\right)^2 = 0\).

Раскроем скобки, упростим и приведем к квадратному уравнению:
\(\frac{1}{2} \cdot M \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot M \cdot v_1^2 = 0\).

Складываем части с одинаковыми переменными:
\(M \cdot v_1^2 = 0\).

Разделим обе части уравнения на \(M\):
\(v_1^2 = 0\).

Извлекаем квадратный корень и получаем:
\(v_1 = 0\).

Таким образом, минимальная скорость, с которой лягушка должна прыгнуть, чтобы переместиться на противоположный конец доски, равна нулю. Это означает, что лягушка может прыгнуть с любой скоростью, и все равно переместиться на противоположный конец доски.