Какова наименьшая скорость, с которой должен двигаться катер, чтобы разница между временем движения по реке и озеру

Yastrebka

42

Чтобы решить задачу, нам понадобится некоторое время. Давайте начнем с определения времени движения катера по озеру и по реке, используя формулу времени: время = расстояние / скорость.

Пусть скорость катера без учета течения реки будет \(v\) км/ч. Тогда время движения по озеру будет равно \(t_1 = \frac{4}{v}\) часов (поскольку расстояние составляет 4 км).

Когда катер движется против течения реки, его скорость относительно земли уменьшается на скорость течения. Значит, его скорость по отношению к берегу реки будет составлять \(v - 2\) км/ч. Следовательно, время движения по реке будет равно \(t_2 = \frac{4}{v - 2}\) часов.

Теперь у нас есть время движения по озеру и по реке, и мы можем найти разницу между этими временами. Обозначим эту разницу через \(\Delta t\). Исходя из условия задачи, \(\Delta t\) должна превышать 10 минут, или \(\frac{\Delta t}{60}\) часов.

Запишем это условие в математической форме: \(t_2 - t_1 > \frac{\Delta t}{60}\).

Подставим выражения для \(t_1\) и \(t_2\), и решим эту неравенство:

\(\frac{4}{v - 2} - \frac{4}{v} > \frac{\Delta t}{60}\).

Для удобства решения неравенства, умножим обе части неравенства на \(60v(v-2)\) (ведь скорость \(v\) не может быть равна 0 или 2, чтобы исключить деление на ноль):

\(240(v - 2) - 240v > \Delta t(v)(v - 2)\).

Упростим выражение:

\(240v - 480 - 240v > \Delta t(v)(v - 2)\).

\(-480 > \Delta t(v)(v - 2)\).

Заметим, что \(\Delta t\) и \(v\) положительны, поэтому мы можем убрать знак неравенства без изменения его направления:

\(-480 > \Delta t(v)(v - 2)\).

Теперь мы можем выразить минимальную скорость, с которой должен двигаться катер, чтобы разница между временем движения по реке и озеру превышала 10 минут. Примем \(\Delta t = 10\) (мы можем взять любое значение больше 10, так как неравенство должно выполняться для любого значения \(\Delta t\) больше 10). Подставим это значение и решим полученное уравнение:

\(-480 > 10(v)(v - 2)\).

\(-48 > v(v - 2)\).

\(v^2 - 2v + 48 < 0\).

Теперь решим это квадратное неравенство. Нам понадобится найти корни и значение вершины этой параболы.

\(D = (-2)^2 - 4(1)(48) = 4 - 192 = -188\).

Так как \(D\) отрицательное, квадратное неравенство не имеет решений.

Значит, ответ на задачу - для любых скоростей, с которыми будет двигаться катер, разница между временем движения по реке и озеру не превысит 10 минут.