Какова область определения данной функции и каково её поведение относительно четности и нечетности? (8.37

Петрович

65

Для определения области определения функции, необходимо учесть два аспекта: экспоненту с нечетным показателем и квадратный корень.

Итак, данная функция представлена в виде

\[f(x) = \sqrt{x^{8.37}}.\]

Для того чтобы найти область определения, необходимо решить два условия:

1. Показатель экспоненты должен быть определен вещественным числом. Учитывая, что показатель равен 8.37, заметим, что он является вещественным числом. Таким образом, экспонента не создает ограничений для определения функции.

2. Аргумент под корнем должен быть неотрицательным числом или нулем. В данной функции аргументом является \(x^{8.37}\). Чтобы аргумент был неотрицательным числом или нулем, мы должны учесть два случая:

a) Когда \(x\) равно нулю, тогда значение функции будет равно нулю, так как корень из нуля равен нулю.
b) Когда \(x\) является положительным числом, а также отрицательным числом с нечетным показателем (как в данной функции), значение функции будет определено также, так как возведение числа в нечетную степень сохраняет его знак.

Итак, область определения данной функции будет состоять из отрицательных чисел с нечетным показателем и числа ноль:

\[
\text{{Область определения: }} x \in (-\infty, 0] \cup (0, +\infty)
\]

Теперь давайте рассмотрим поведение функции относительно четности и нечетности.

Чтобы определить, является ли функция \(f(x)\) четной или нечетной, необходимо проверить выполнение двух уравнений:

1. Если \(f(x)\) - четная функция, то \(f(-x) = f(x)\) для любого значения \(x\) в области определения.

Подставим значение \(-x\) в функцию \(f(x)\):

\(f(-x) = \sqrt{(-x)^{8.37}} = \sqrt{x^{8.37}} = f(x).\)

Мы видим, что \(f(-x) = f(x)\) выполняется, следовательно, функция \(f(x)\) является четной.

2. Если \(f(x)\) - нечетная функция, то \(f(-x) = -f(x)\) для любого значения \(x\) в области определения.

Подставим значение \(-x\) в функцию \(f(x)\):

\(f(-x) = \sqrt{(-x)^{8.37}} = \sqrt{x^{8.37}} = f(x).\)

Мы видим, что равенство \(f(-x) = -f(x)\) не выполняется, следовательно, функция \(f(x)\) не является нечетной.

Таким образом, исходя из анализа поведения функции относительно четности и нечетности, мы можем сказать, что данная функция \(f(x)\) является только четной.