Какова область определения функции f(x)=√25-x^2+7/x-5?

Ledyanoy_Podryvnik

16

Чтобы определить область определения функции \(f(x) = \frac{{\sqrt{25 - x^2} + 7}}{{x - 5}}\), нам надо рассмотреть два аспекта: корни под знаком радикала и деление на ноль.

1. Корни под знаком радикала:
В этой функции под знаком радикала находится выражение \(25 - x^2\). Чтобы этот корень был определен, мы должны гарантировать, что выражение \(25 - x^2\) неотрицательно. Это означает, что

\[25 - x^2 \geq 0.\]

Чтобы решить это неравенство, сначала выразим его в виде

\[x^2 - 25 \leq 0.\]

Затем мы можем факторизовать его как разность квадратов:

\[(x - 5)(x + 5) \leq 0.\]

Теперь нам нужно рассмотреть знак каждого множителя:

a) Если \(x - 5 < 0\) и \(x + 5 < 0\), то оба множителя будут отрицательными. Это означает, что неравенство не выполняется, и корень под знаком радикала не будет определен.

b) Если \(x - 5 > 0\) и \(x + 5 > 0\), то оба множителя будут положительными. Это также означает, что неравенство не выполняется, и корень под знаком радикала не будет определен.

c) Если \(x - 5 < 0\) и \(x + 5 > 0\), то первый множитель будет отрицательным, а второй — положительным. В этом случае неравенство выполняется, и корень под знаком радикала будет определен.

Таким образом, для области определения функции \(f(x)\) корни должны удовлетворять условию \(x - 5 < 0\) и \(x + 5 > 0\).

2. Деление на ноль:
Функция \(f(x)\) также содержит выражение \(x - 5\) в знаменателе. Чтобы избежать деления на ноль, нам нужно удостовериться, что \(x - 5 \neq 0\). Это означает, что \(x \neq 5\).

Теперь объединим оба аспекта:

1. Область определения функции будет состоять только из тех значений \(x\), которые удовлетворяют обоим условиям: \(x - 5 < 0\) и \(x + 5 > 0\).
2. Кроме того, мы должны исключить \(x = 5\) из области определения, чтобы избежать деления на ноль.

Итак, область определения функции \(f(x)\) будет выглядеть следующим образом:

\[
x \in (-\infty, -5) \cup (-5, 5) \cup (5, +\infty)
\]

В этой области все значения \(x\) будут давать определенные значения для функции \(f(x)\).