Какова область определения функции f(x)=x-4/x^2-x-6?

Мистический_Дракон

49

Чтобы определить область определения функции \(f(x) = \frac{x-4}{x^2-x-6}\), мы должны найти все значения \(x\), для которых функция определена, то есть значения, при которых знаменатель функции не равен нулю.

Знаменатель \(x^2-x-6\) не может быть равен нулю, поскольку деление на ноль не определено. Чтобы найти значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю, нужно решить уравнение \(x^2-x-6 = 0\).

Мы можем решить это квадратное уравнение, факторизуя его или используя квадратное уравнение.

Давайте воспользуемся квадратным уравнением и найдем значения \(x\):

\[
x^2-x-6 = 0
\]

Сначала найдем дискриминант \(D\):

\[
D = b^2 - 4ac
\]

где \(a = 1\), \(b = -1\), и \(c = -6\). Подставляя значения, получаем:

\[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25
\]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]

Подставляя значения, получаем:

\[
x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 5}{2}
\]

Теперь найдем значения \(x\):

\[
x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3
\]
\[
x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2
\]

Таким образом, для функции \(f(x) = \frac{x-4}{x^2-x-6}\) область определения состоит из всех значений \(x\), кроме \(x = 3\) и \(x = -2\).

Область определения функции \(f(x)\) можно записать в виде:

\[D = (-\infty, -2) \cup (-2, 3) \cup (3, +\infty)\]

Это означает, что функция определена для всех значений \(x\), кроме \(x = 3\) и \(x = -2\).