Сколько существует вариантов выбора команды из 4 человек для ночного дежурства при участии 11 мальчиков и 5 девочек

Zagadochnyy_Elf_1790

41

Для решения данной задачи воспользуемся комбинаторикой. Мы должны выбрать 4 человека из 16 (11 мальчиков и 5 девочек) так, чтобы в команде было не менее двух мальчиков.

Для начала определим количество вариантов выбрать команду без ограничений. Для этого воспользуемся формулой сочетаний \(C(n, k)\), где \(n\) - общее количество объектов, а \(k\) - количество объектов, которые нужно выбрать. В нашем случае \(n = 16\) (общее число людей) и \(k = 4\) (количество людей в команде).
Вычислим это значение:

\[C(16, 4) = \frac{{16!}}{{4! \cdot (16-4)!}} = \frac{{16!}}{{4! \cdot 12!}}\]

Далее нам нужно определить количество вариантов, когда в команде ровно один мальчик. Вычислим это:
\[C(11, 1) \cdot C(5, 3)\]
Здесь мы выбираем одного мальчика из 11 и три девочки из 5.

Наконец, нам нужно определить количество вариантов, когда в команде нет мальчиков. Вычислим это:
\[C(5, 4)\]
Здесь мы выбираем четырех девочек из пяти.

Таким образом, общее количество вариантов, при которых в команде не менее двух мальчиков, равно:

\[C(16,4) - C(11,1) \cdot C(5,3) - C(5,4)\]

Посчитаем:
\[C(16,4) = \frac{{16!}}{{4! \cdot 12!}} = \frac{{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 1820\]

\[C(11,1) = \frac{{11!}}{{1! \cdot 10!}} = \frac{{11}}{{1}} = 11\]

\[C(5,3) = \frac{{5!}}{{3! \cdot 2!}} = \frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} = 10\]

\[C(5,4) = \frac{{5!}}{{4! \cdot 1!}} = \frac{{5}}{{1}} = 5\]

Теперь можем найти ответ:
\[1820 - 11 \cdot 10 - 5 = 1820 - 110 - 5 = 1705\]

Таким образом, существует 1705 вариантов выбрать команду из 4 человек при условии, что в команде не менее двух мальчиков.