Сколько существует вариантов выбора команды из 4 человек для ночного дежурства при участии 11 мальчиков и 5 девочек

Zagadochnyy_Elf_1790

41

Для решения данной задачи воспользуемся комбинаторикой. Мы должны выбрать 4 человека из 16 (11 мальчиков и 5 девочек) так, чтобы в команде было не менее двух мальчиков.

Для начала определим количество вариантов выбрать команду без ограничений. Для этого воспользуемся формулой сочетаний $C(n,k)$, где $n$ - общее количество объектов, а $k$ - количество объектов, которые нужно выбрать. В нашем случае $n=16$ (общее число людей) и $k=4$ (количество людей в команде).
Вычислим это значение:

$$C(16,4)=\frac{16!}{4!\cdot (16-4)!}=\frac{16!}{4!\cdot 12!}$$

Далее нам нужно определить количество вариантов, когда в команде ровно один мальчик. Вычислим это:
$$C(11,1)\cdot C(5,3)$$
Здесь мы выбираем одного мальчика из 11 и три девочки из 5.

Наконец, нам нужно определить количество вариантов, когда в команде нет мальчиков. Вычислим это:
$$C(5,4)$$
Здесь мы выбираем четырех девочек из пяти.

Таким образом, общее количество вариантов, при которых в команде не менее двух мальчиков, равно:

$$C(16,4)-C(11,1)\cdot C(5,3)-C(5,4)$$

Посчитаем:
$$C(16,4)=\frac{16!}{4!\cdot 12!}=\frac{16\cdot 15\cdot 14\cdot 13}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=1820$$

$$C(11,1)=\frac{11!}{1!\cdot 10!}=\frac{11}{1}=11$$

$$C(5,3)=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=\frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=10$$

$$C(5,4)=\frac{5!}{4!\cdot 1!}=\frac{5}{1}=5$$

Теперь можем найти ответ:
$$1820-11\cdot 10-5=1820-110-5=1705$$

Таким образом, существует 1705 вариантов выбрать команду из 4 человек при условии, что в команде не менее двух мальчиков.