Введите все натуральные числа, которые являются решением уравнения y2−2xy−2x=22

Магический_Кот

56

Для решения данного уравнения сначала приведем его к квадратному виду. Распишем \(y^2 - 2xy - 2x = 22\) в виде \(y^2 - 2xy + x^2 - x^2 - 2x = 22\).

Заметим, что первое слагаемое \(y^2 - 2xy + x^2\) является квадратом бинома \((y-x)^2\), а последние два слагаемых \(-x^2 - 2x\) можно объединить в \(-x(x+2)\). Получаем:

\((y-x)^2 - x(x+2) = 22\).

Далее, приведем данное уравнение к более простому виду:

\(y^2 - 2xy + x^2 - x(x+2) - 22 = 0\).

Раскроем скобки:

\(y^2 - 2xy + x^2 - x^2 - 2x - 22 = 0\).

Упростим:

\(y^2 - 2xy - 2x - 22 = 0\).

Теперь, посмотрим на данный квадратный трехчлен с переменной \(y\). Для решения уравнения в этом виде мы можем воспользоваться формулой дискриминанта.

Дискриминант \(D\) квадратного трехчлена \(ay^2 + by + c\) выражается по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае, коэффициенты равны \(a = 1\), \(b = -2x\) и \(c = -2x - 22\), поэтому дискриминант будет равен:

\(D = (-2x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2x - 22) = 4x^2 + 8x + 88\).

Теперь найдем значения \(x\), при которых дискриминант \(D\) будет положительным, что позволит найти действительные корни уравнения.

Дискриминант \(D\) положителен, если \(4x^2 + 8x + 88 > 0\).

Для решения данного квадратного неравенства воспользуемся графиком функции квадратного трехчлена или применим правило знаков.

Из правила знаков следует, что неравенство \(4x^2 + 8x + 88 > 0\) выполняется, если либо оба коэффициента при \(x\) положительны (т.е. \(4 > 0\) и \(8 > 0\)), либо оба коэффициента отрицательны (т.е. \(4 < 0\) и \(8 < 0\)).

Поскольку оба коэффициента положительны, мы можем сделать вывод, что данный квадратный трехчлен \(4x^2 + 8x + 88\) положителен при всех значениях \(x\).

Таким образом, дискриминант \(D\) всегда будет положительным, и уравнение \(y^2 - 2xy - 2x - 22 = 0\) имеет действительные корни при любых значениях \(x\).

Поэтому, чтобы найти все натуральные числа, являющиеся решениями данного уравнения, мы можем просто взять любое натуральное число \(x\) и решить уравнение относительно \(y\):

\(y = x \pm \sqrt{D} = x \pm \sqrt{4x^2 + 8x + 88}\).

Таким образом, для каждого натурального числа \(x\) получим два значения \(y\), являющихся решениями уравнения \(y^2 - 2xy - 2x - 22 = 0\).

Например, если \(x = 1\), то получаем:

\(y = 1 \pm \sqrt{4 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 + 88} = 1 \pm \sqrt{104}\).

Аналогично, если \(x = 2\), то получаем:

\(y = 2 \pm \sqrt{4 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 + 88} = 2 \pm \sqrt{120}\).

Таким образом, путем выбора различных натуральных чисел для \(x\) мы можем получить бесконечное количество натуральных чисел, являющихся решениями данного уравнения \(y^2 - 2xy - 2x - 22 = 0\).