Какова область пересечения прямой 2x+y+3=0 и отрезка, ограниченного точками а(-5,1) и в(3,7)?

Zolotoy_Lord

34

Чтобы найти область пересечения прямой \(2x + y + 3 = 0\) и отрезка, ограниченного точками А(-5,1) и В(3,7), мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Начнем с прямой \(2x + y + 3 = 0\). Чтобы найти область пересечения этой прямой и отрезка, нам нужно сначала определить, пересекает ли данная прямая отрезок, и если да, то где.

2. Для этого мы можем найти точки пересечения прямой с прямой, проходящей через точки А и В.

3. Определим уравнение этой прямой. Для этого воспользуемся формулой точки-наклона: \((y - y_1) = m(x - x_1)\), где \(m\) - наклон прямой, а \((x_1, y_1)\) - координаты одной из точек на прямой. Подставим значения точек А(-5,1) и В(3,7) в эту формулу, чтобы найти \(m\).

\[
\begin{align*}
(y - 1) &= m(x - (-5)) \\
(7 - 1) &= m(3 - (-5)) \\
6 &= 8m \\
m &= \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
\end{align*}
\]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки А и В, будет иметь вид: \(y - 1 = \frac{3}{4}(x - (-5))\).

4. Теперь нам нужно найти точки пересечения прямой \(2x + y + 3 = 0\) и прямой \(y - 1 = \frac{3}{4}(x - (-5))\). Для этого приравняем уравнения прямых и решим систему уравнений.

\[
\begin{align*}
2x + y + 3 &= 0 \\
y - 1 &= \frac{3}{4}(x + 5)
\end{align*}
\]

Используя метод замены, мы получим:

\[
\begin{align*}
y &= -2x - 3 \\
y &= \frac{3}{4}x + \frac{27}{4}
\end{align*}
\]

\[
-2x - 3 = \frac{3}{4}x + \frac{27}{4}
\]

\[
-8x -12 = 3x + 27
\]

\[
-11x = 39
\]

\[
x = -\frac{39}{11}
\]

Подставим значение \(x\) в любое из уравнений, чтобы найти значение \(y\):

\[
y = -2\left(-\frac{39}{11}\right) - 3 = \frac{39}{11} - 3 = \frac{6}{11}
\]

Таким образом, точка пересечения прямой \(2x + y + 3 = 0\) и прямой \(y - 1 = \frac{3}{4}(x - (-5))\) равна \(\left(-\frac{39}{11}, \frac{6}{11}\right)\).

5. Теперь проверим, находится ли эта точка внутри отрезка, ограниченного точками А(-5,1) и В(3,7). Для этого проверим, лежит ли значение \(x\) этой точки между значениями \(x\) точек А и В, а также лежит ли значение \(y\) этой точки между значениями \(y\) точек А и В.

Значение \(x\) точки \(\left(-\frac{39}{11}, \frac{6}{11}\right)\) равно \(-\frac{39}{11}\), что находится внутри интервала \((-5, 3)\).

Значение \(y\) точки \(\left(-\frac{39}{11}, \frac{6}{11}\right)\) равно \(\frac{6}{11}\), что также находится внутри интервала \((1, 7)\).

Таким образом, точка \(\left(-\frac{39}{11}, \frac{6}{11}\right)\) является точкой пересечения прямой \(2x + y + 3 = 0\) и отрезка, ограниченного точками А(-5,1) и В(3,7).

Итак, область пересечения прямой \(2x + y + 3 = 0\) и отрезка, ограниченного точками А(-5,1) и В(3,7), состоит из одной точки \(\left(-\frac{39}{11}, \frac{6}{11}\right)\).