Каково уравнение сферы, центр которой находится в точке О (0; 2; ̶ 1), и проходящей через точку K ( ̶ 1; ̶

Подсолнух

56

Для нахождения уравнения сферы необходимо знать координаты её центра и радиуса.

1. Нахождение радиуса сферы: Рассмотрим точки центра сферы \(O(0, 2, -1)\) и проходящую через точку \(K(-1, -3, 4)\). Радиус сферы - это расстояние от центра до любой точки на поверхности сферы. Рассчитаем расстояние между точками \(O\) и \(K\), чтобы найти радиус.

Расстояние между двумя точками в пространстве можно найти по формуле:
\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Подставляем координаты точек \(O\) и \(K\):
\[d = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (-3 - 2)^2 + (4 + 1)^2} = \sqrt{1 + 25 + 25} = \sqrt{51}\]

Следовательно, радиус сферы равен \(\sqrt{51}\).

2. Уравнение сферы: Уравнение сферы в трехмерном пространстве имеет вид:
\[(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\]
где \((a, b, c)\) - координаты центра сферы, \(r\) - радиус.

Подставляем известные значения:
\[(x - 0)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = (\sqrt{51})^2\]
\[x^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 51\]

Таким образом, уравнение искомой сферы: \[x^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 51\]

Это уравнение определяет сферу с центром в точке \(O(0, 2, -1)\) и проходящую через точку \(K(-1, -3, 4)\), радиус которой равен \(\sqrt{51}\).