Какова область значений функции f(x)=x²+2x-3 на основе ее графика? Какой промежуток функции является возрастающим

Янгол_8245

70

Чтобы определить область значений функции \(f(x) = x^2 + 2x - 3\) на основе ее графика, мы можем посмотреть, какие значения может принимать функция при различных значениях \(x\).

График данной функции будет параболой, так как у нее есть квадратичный член \(x^2\). Для нашего удобства, давайте сначала найдем вершину параболы. Вершина параболы \((h, k)\) определяется по формулам:
\[h = -\frac{b}{2a}\]
\[k = f(h)\]

В нашем случае коэффициенты \(a = 1\), \(b = 2\), и \(c = -3\). Подставим их в формулы:
\[h = -\frac{2}{2(1)} = -1\]
\[k = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4\]

Таким образом, вершина параболы имеет координаты \((-1, -4)\).

Отсюда мы видим, что парабола открывается вверх, так как коэффициент \(a\) при \(x^2\) положительный. Также, поскольку вершина параболы находится ниже оси \(x\), функция будет принимать все значения больше или равные \(-4\). Следовательно, область значений функции \(f(x) = x^2 + 2x - 3\) - это все действительные числа, большие или равные \(-4\).

Чтобы определить промежуток функции, на котором она возрастает по графику, мы можем обратить внимание на направление параболы. Если парабола открывается вверх, как в нашем случае, значит функция будет возрастать когда \(x\) меньше, чем координата \(x\)-координата вершины. В нашем случае, вершина параболы находится в точке \((-1, -4)\), поэтому промежуток возрастания функции будет \(-\infty < x < -1\).

Чтобы определить множество решений неравенства \(f(x) > 0\) на основе графика функции, мы должны найти все точки, где график функции находится выше оси \(x\).

Уравнение \(f(x) = x^2 + 2x - 3 > 0\) можно решить, используя график функции. Мы ищем все точки, где график находится выше оси \(x\), то есть все значения \(x\), при которых функция положительна.

На графике можно заметить, что функция положительна в интервалах между корнями параболы. Из графика видно, что корни уравнения \(f(x) = x^2 + 2x - 3 = 0\) находятся приблизительно в точках \(-3\) и \(1\). Следовательно, промежутки, где функция \(f(x)\) положительна, будут \(-3 < x < -1\) и \(x > 1\).

Таким образом, множество решений неравенства \(f(x) > 0\) на основе графика функции будет \(-3 < x < -1\) и \(x > 1\).