Чему равна площадь прямоугольного треугольника, у которого разность длин катетов составляет 85 дм, а длина гипотенузы

Yaroslav

67

Для решения данной задачи воспользуемся формулой площади прямоугольного треугольника. Площадь такого треугольника равна половине произведения длины одного из катетов на длину гипотенузы.

Пусть один из катетов имеет длину \(x\) дм. Тогда второй катет будет иметь длину \(x + 85\) дм. Дано, что длина гипотенузы равна 171 дм. Используем теорему Пифагора для нахождения значения \(x\):

\[(x)^2 + (x + 85)^2 = 171^2\]

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

\[x^2 + (x^2 + 170x + 7225) = 29241\]
\[2x^2 + 170x + 7225 - 29241 = 0\]
\[2x^2 + 170x - 22016 = 0\]

Далее мы можем решить это уравнение с помощью формулы дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = 170^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-22016)\]
\[D = 28900 + 176704\]
\[D = 205604\]

Теперь, найдя значение дискриминанта, мы можем рассчитать значения катетов и площади треугольника:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-170 + \sqrt{205604}}{4}\]
\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-170 - \sqrt{205604}}{4}\]

Для нашей задачи берем положительное значение для катета:

\[x = \frac{-170 + \sqrt{205604}}{4}\]

Подставляя значение \(x\) в формулу площади прямоугольного треугольника, получаем:

\[S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 85)\]

Округлим полученное числовое значение площади до ближайшего целого числа:

\[S \approx \text{округление}(\frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 85))\]

Ответ: \(S \approx \text{округление}(\frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 85))\)