Какова первая космическая скорость на Луне, учитывая, что радиус Луны равен 1740 км, а ускорение свободного падения

Rak

34

Для решения этой задачи, мы можем использовать законы движения тела. Первая космическая скорость - это минимальная скорость, с которой объект должен двигаться, чтобы преодолеть гравитацию и выйти на орбиту вокруг планеты или спутника.

Для начала, давайте найдем ускорение свободного падения на Луне, учитывая, что оно в 6 раз меньше, чем на Земле (10 м/с^2).

Ускорение свободного падения на Луне (g_л) можно найти, используя формулу:

\[g_л = \frac{g_з}{6}\]

где \(g_з\) - ускорение свободного падения на Земле (10 м/с^2).

Подставляя значение \(g_з = 10\ м/с^2\) в эту формулу, найдем:

\[g_л = \frac{10}{6} \approx 1.667\ м/с^2\]

Теперь, чтобы найти первую космическую скорость, мы можем использовать закон сохранения механической энергии.

Этот закон можно записать следующим образом:

\[E_1 = E_2\]

Где \(E_1\) - полная механическая энергия тела на поверхности Луны, а \(E_2\) - полная механическая энергия тела на орбите Луны.

Полная механическая энергия определяется как:

\[E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}\]

Где \(m\) - масса объекта, \(v\) - его скорость, \(G\) - гравитационная постоянная, а \(r\) - радиус Луны.

На поверхности Луны, тело находится в покое, поэтому его скорость \(v_1\) будет равна 0. Таким образом, мы имеем:

\[E_1 = -\frac{GMm}{r}\]

На орбите Луны, механическая энергия будет только кинетической, т.к. потенциальная энергия будет равна 0. Тогда:

\[E_2 = \frac{1}{2}mv_2^2\]

Теперь, учитывая, что масса объекта (\(m\)) и гравитационная постоянная (\(G\)) не меняются, и что \(E_1 = E_2\), у нас есть:

\[-\frac{GMm}{r} = \frac{1}{2}mv_2^2\]

Отсюда мы можем найти \(v_2\) (скорость на орбите Луны):

\[v_2 = \sqrt{\frac{-2GM}{r}}\]

Подставляя значения \(G = 6.67430 \times 10^{-11}\ м^3/кг/с^2\) и \(r = 1740\ км = 1740000\ м\) в эту формулу, получим:

\[v_2 = \sqrt{\frac{-2 \times 6.67430 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{1740000}}\]

Вычисляя это значение, получим \(v_2 \approx 2380.4\ м/с\).

Таким образом, первая космическая скорость на Луне, учитывая данные условия, составляет примерно \(2380.4\ м/с\).