После удара, под каким углом отклонится шар, который висит на нити?

Vodopad

16

Когда шар висит на нити, он находится в состоянии равновесия, то есть силы, действующие на шар, сбалансированы. При ударе шара некоторая сила будет действовать на него, вызывая его отклонение.

Для определения угла отклонения шара после удара, мы можем использовать закон сохранения энергии. В данном случае, потенциальная энергия находится в гармоническом осцилляторе (шаре на нити) и будет превращена в кинетическую энергию при отклонении.

Исходя из закона сохранения энергии, потенциальная энергия \(U\) превратится в кинетическую энергию \(K\). Для гармонического осциллятора, потенциальная энергия связана с кинетической энергией следующим образом:

\[U = K\]

Потенциальная энергия гармонического осциллятора определяется формулой:

\[U = \frac{1}{2} k x^2\]

где \(k\) - коэффициент упругости нити, а \(x\) - отклонение шара от положения равновесия.

Кинетическая энергия гармонического осциллятора определяется формулой:

\[K = \frac{1}{2} m v^2\]

где \(m\) - масса шара, а \(v\) - скорость шара в момент отклонения.

Таким образом, уравнение сохранения энергии будет выглядеть следующим образом:

\[\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2\]

Мы также знаем, что скорость шара \(v\) связана с его отклонением \(x\) следующим образом:

\[v = \omega x\]

где \(\omega\) - угловая скорость гармонического осциллятора.

Подставляя это выражение в уравнение сохранения энергии, получаем:

\[\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m (\omega x)^2\]

Упрощая, получаем:

\[k x^2 = m \omega^2 x^2\]

Сокращая \(x\), получаем:

\[k = m \omega^2\]

Далее, угловая скорость \(\omega\) зависит от периода колебаний \(T\) гармонического осциллятора:

\[\omega = \frac{2\pi}{T}\]

Теперь мы можем выразить \(k\) через массу \(m\) и период колебаний \(T\):

\[k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}\]

Используя это значение \(k\), мы можем выразить угловое отклонение шара \(x\) из уравнения сохранения энергии:

\[\frac{1}{2} \left(\frac{4\pi^2 m}{T^2}\right) x^2 = \frac{1}{2} m (\omega x)^2\]

Сокращая, получаем:

\[\frac{4\pi^2}{T^2} x^2 = \omega^2 x^2\]

Продолжим сокращать:

\[\frac{4\pi^2}{T^2} = \omega^2\]

Тогда:

\[\frac{4\pi^2}{T^2} = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2\]

Получаем:

\[\frac{4\pi^2}{T^2} = \omega^2\]

затем, упрощаем:

\[\frac{4\pi^2}{T^2} = \frac{4\pi^2}{T^2}\]

Таким образом, угол отклонения шара будет равен нулю, то есть шар не отклонится от своего исходного положения после удара.

Организуете ли Вы для школьников практическое задание на данную тему?