Какова площадь боковой поверхности прямой треугольной призмы, если стороны основания относятся как 9:10:17 и боковое

Звездная_Ночь

12

Чтобы найти площадь боковой поверхности прямой треугольной призмы, нам нужно знать длины сторон основания. Поскольку в задаче сказано, что стороны основания треугольной призмы относятся как 9:10:17, давайте представим эти стороны как 9x, 10x и 17x, где x - это неизвестный множитель.

Согласно свойствам треугольной призмы, боковое ребро является высотой треугольника, образованного сторонами основания. В данной задаче боковое ребро равно 16 см.

Теперь мы можем составить уравнение площади поверхности призмы. Площадь поверхности призмы состоит из трех прямоугольников, соответствующих боковым граням, и двух треугольников, соответствующих основаниям. Поскольку у нас треугольная призма, то две боковые грани имеют форму треугольников.

Площадь поверхности призмы равна сумме площадей всех граней. Давайте запишем уравнение:

\[1440 = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 9x \cdot 16\right) + 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 10x \cdot 16\right) + \left(9x \cdot 10x\right)\]

Раскрываем скобки и упростим уравнение:

\[1440 = 9x \cdot 8 + 10x \cdot 8 + 90x^2\]

Далее, добавим все члены в одну сторону и упростим уравнение:

\[1440 = 8(9x + 10x) + 90x^2\]

\[1440 = 8(19x) + 90x^2\]

\[1440 = 152x + 90x^2\]

\[90x^2 + 152x - 1440 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить, используя методы факторизации, квадратного трехчлена или формулы дискриминанта.

Для упрощения вычислений, я заменю основание призмы символом "a" и получим квадратное уравнение:

\[90a^2 + 152a - 1440 = 0\]

\[45a^2 + 76a - 720 = 0\]

Теперь, чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем попытаться разложить его на множители или использовать формулу дискриминанта.

Если мы хотим разложить его на множители, нам нужно найти два числа, произведение которых равно \(45 \cdot (-720) = -32400\) и сумма которых равна 76. После некоторых вычислений можно найти, что эти числа - это 120 и (-270).

Теперь мы можем разложить уравнение на множители:

\[45a^2 + 76a - 720 = (15a - 40)(3a + 18) = 0\]

Таким образом, мы имеем два возможных значения для "a":

1) \(15a - 40 = 0\), откуда получаем \(a = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}\)
2) \(3a + 18 = 0\), откуда получаем \(a = \frac{-18}{3} = -6\)

Если основание призмы имеет отрицательную длину, это не имеет физического смысла, поэтому мы будем использовать только положительное значение \(a = \frac{8}{3}\).

Теперь, когда у нас есть значение "a", мы можем найти длины всех сторон основания призмы:

сторона 1 = 9x = 9 * \(\frac{8}{3}\) = 24 см
сторона 2 = 10x = 10 * \(\frac{8}{3}\) = \(\frac{80}{3}\) см
сторона 3 = 17x = 17 * \(\frac{8}{3}\) = \(\frac{136}{3}\) см

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности призмы. Боковая поверхность прямой треугольной призмы состоит из двух равных треугольников и одного прямоугольника.

Площадь первого треугольника можно найти, используя формулу площади треугольника: \(\frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\).

Площадь второго треугольника равна площади первого, так как они симметричны.

Площадь прямоугольника равна \(\text{длина} \times \text{ширина}\).

После всех расчетов мы получим площадь боковой поверхности:

\[\text{площадь} = 2 \times \left(\frac{1}{2} \times \text{сторона 1} \times \text{боковое ребро}\right) + \text{сторона 1} \times \text{сторона 2}\]

\[\text{площадь} = 2 \times \left(\frac{1}{2} \times 24 \times 16\right) + 24 \times \frac{80}{3}\]

\[\text{площадь} = 2 \times (12 \times 16) + \frac{1920}{3}\]

\[\text{площадь} = 384 + \frac{1920}{3}\]

\[\text{площадь} = 384 + 640\]

\[\text{площадь} = 1024 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности прямой треугольной призмы равна 1024 квадратным сантиметрам.