Какова площадь боковой стороны призмы, если все ее ребра равны 4см и боковое ребро АА1 составляет углы по 30° с ребрами

Морозная_Роза_2161

44

Чтобы найти площадь боковой стороны призмы, нам нужно знать длину ребра призмы и угол, который образуют боковое ребро и ребра основания. Дано, что все ребра призмы равны 4 см и боковое ребро \(AA_1\) составляет углы по 30° с ребрами оснований.

Для начала, давайте представим себе призму. Она имеет два основания, которые являются правильными четырехугольниками. Все стороны оснований равны 4 см.

Теперь обратимся к боковым сторонам призмы. Каждая боковая сторона призмы - это прямоугольный треугольник, образованный одним из боковых ребер и двумя ребрами основания.

У нас есть информация, что боковое ребро \(AA_1\) составляет углы по 30° с ребрами основания. Для простоты выберем одно из боковых ребер и обозначим его как \(AB\), где \(B\) - точка пересечения этого ребра с основанием. Тогда у нас есть прямоугольный треугольник \(ABA_1\), в котором угол \(A_1AB\) равен 30°. Ребро \(AB\) равно половине стороны основания призмы, то есть 2 см.

Теперь мы можем использовать связь между углом и противоположной стороной, чтобы вычислить длину бокового ребра \(AA_1\). В прямоугольном треугольнике \(ABA_1\) мы знаем угол \(A_1AB\) равный 30° и длину стороны \(AB\) равную 2 см. Мы хотим найти длину стороны \(AA_1\).

Воспользуемся тригонометрической функцией тангенс. Тангенс угла равен отношению противолежащей стороны к прилежащей стороне. В данном случае, тангенс угла 30° будет равен отношению длины стороны \(AA_1\) к длине стороны \(AB\).

\[
\tan(30^\circ) = \frac{{AA_1}}{{AB}}
\]

Подставим известные значения:

\[
\tan(30^\circ) = \frac{{AA_1}}{{2}}
\]

Теперь решим уравнение для \(AA_1\):

\[
AA_1 = 2 \cdot \tan(30^\circ)
\]

Тангенс 30° равен \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), поэтому:

\[
AA_1 = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 1.155 \,\text{см}
\]

Теперь у нас есть длина бокового ребра \(AA_1\). Чтобы найти площадь боковой стороны призмы, мы можем использовать формулу площади прямоугольного треугольника:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}
\]

в нашем случае, площадь одной боковой стороны призмы будет:

\[
S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AA_1
\]

Подставим известные значения:

\[
S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \,\text{см} \cdot 1.155 \,\text{см} \approx 1.155 \,\text{см}^2
\]

Таким образом, площадь боковой стороны призмы равна примерно \(1.155 \, \text{см}^2\).