Какова площадь фигуры, ограниченной гиперболой xy=9, координатной осью x и прямыми x=3 и x=6?

Petrovna_7906

11

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой \(xy=9\), координатной осью \(x\) и прямыми \(x=3\) и \(x=6\), мы можем разделить эту фигуру на две части и вычислить площади каждой из них отдельно.

Сначала посмотрим на уравнение гиперболы \(xy=9\). Чтобы понять ее форму, давайте преобразуем это уравнение:

\[y = \frac{9}{x}\]

Теперь мы можем нарисовать график гиперболы:

\[
\begin{array}{|c|c|}
x & y \\
\hline
1 & 9 \\
2 & 4.5 \\
3 & 3 \\
6 & 1.5 \\
\end{array}
\]

На графике можно увидеть, что гипербола проходит через точки \((1, 9)\), \((2, 4.5)\), \((3, 3)\) и \((6, 1.5)\).

Теперь давайте посмотрим на прямые \(x=3\) и \(x=6\). Это вертикальные линии, которые пересекают ось \(x\) в точках \(x=3\) и \(x=6\). Мы можем нарисовать их на графике гиперболы:


Теперь наша фигура ограничена гиперболой, осью \(x\) и ~~линия~~ приямая \(x=3\) с одной стороны, и гиперболой, осью \(x\) и ~~линия~~ приямая \(x=6\) с другой стороны.

Разделим эту фигуру на две части, используя прямые \(x=3\) и \(x=6\), и вычислим площади каждой из них.

Первая часть ограничена гиперболой, осью \(x\) и прямой \(x=3\). Чтобы вычислить ее площадь, мы можем вычислить интеграл функции \(y = \frac{9}{x}\) на отрезке \([1, 3]\):

\[
\begin{align*}
S_1 &= \int_{1}^{3} \frac{9}{x} dx \\
&= 9 \cdot \int_{1}^{3} \frac{1}{x} dx \\
&= 9 \cdot \ln|x| \Big|_{1}^{3} \\
&= 9 \cdot (\ln|3| - \ln|1|) \\
&= 9 \cdot \ln(3) \\
&\approx 19.326
\end{align*}
\]

Таким образом, площадь первой части фигуры равна примерно 19.326.

Вторая часть ограничена гиперболой, осью \(x\) и прямой \(x=6\). Чтобы вычислить ее площадь, мы можем вычислить интеграл функции \(y = \frac{9}{x}\) на отрезке \([3, 6]\):

\[
\begin{align*}
S_2 &= \int_{3}^{6} \frac{9}{x} dx \\
&= 9 \cdot \int_{3}^{6} \frac{1}{x} dx \\
&= 9 \cdot \ln|x| \Big|_{3}^{6} \\
&= 9 \cdot (\ln|6| - \ln|3|) \\
&= 9 \cdot (\ln(6) - \ln(3)) \\
&\approx 9.218
\end{align*}
\]

Таким образом, площадь второй части фигуры равна примерно 9.218.

Теперь мы можем найти общую площадь фигуры, сложив площади двух частей:

\[
\begin{align*}
S &= S_1 + S_2 \\
&= 19.326 + 9.218 \\
&\approx 28.544
\end{align*}
\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной гиперболой \(xy=9\), координатной осью \(x\) и прямыми \(x=3\) и \(x=6\), примерно равна 28.544.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как мы пришли к этому ответу. Я готов помочь вам в любых других задачах!