Какое число из представленных ниже является иррациональным и по какой причине? а) 0.1414.... б) 0.3784... в) 0,2(68

Лия

9

Давайте рассмотрим каждое из предложенных чисел и определим, является ли оно иррациональным.

а) 0.1414.... - это десятичная дробь с повторяющейся последовательностью цифр 14. Это число мы можем представить в виде обыкновенной дроби:

\[0.1414.... = \frac{14}{100} = \frac{7}{50}\]

Так как данное число может быть представлено обыкновенной дробью, оно является рациональным, а не иррациональным.

б) 0.3784... - это также десятичная дробь с повторяющейся последовательностью цифр 3784. Мы также можем представить это число в виде обыкновенной дроби:

\[0.3784.... = \frac{3784}{10000}\]

Поскольку данное число также может быть представлено обыкновенной дробью, оно является рациональным.

в) 0,2(68) - это десятичная дробь с повторяющейся последовательностью цифр 68 внутри скобок. Для определения обыкновенной дроби, которая соответствует этому числу, мы обозначим их переменными \(x\) и \(y\):

\[x = 0,2686868... \quad и \quad y = 0,268\]

Затем мы вычтем \(x\) из \(y\) для получения:

\[10y - y = 10x \quad \Rightarrow \quad 9y = 10x \quad \Rightarrow \quad \frac{y}{x} = \frac{10}{9}\]

Так как \(\frac{y}{x}\) - это отношение двух целых чисел, то число \(0,2(68)\) может быть представлено обыкновенной дробью и является рациональным числом.

г) 8.(523) - это десятичная дробь с повторяющейся последовательностью цифр 523. Для определения обыкновенной дроби, представляющей это число, обозначим переменными \(x\) и \(y\):

\[x = 8,523523523... \quad и \quad y = 0,523\]

Вычитая \(x\) из \(y\), получаем:

\[1000y - y = 1000x \quad \Rightarrow \quad 999y = 1000x \quad \Rightarrow \quad \frac{y}{x} = \frac{1000}{999}\]

Так как \(\frac{y}{x}\) - это отношение двух целых чисел, число \(8.(523)\) может быть представлено обыкновенной дробью и является рациональным числом.

Таким образом, из предложенных чисел все являются рациональными, а не иррациональными.

Теперь перейдем ко второму заданию.

Задание 4. Количество цифр, являющихся сомнительными, в сумме чисел 1,836 - это количество ненулевых цифр после запятой (то есть десятичные цифры), т.к. в целой части нет сомнительных цифр. Исходя из этого, в данном случае есть 3 сомнительные цифры: 8, 3 и 6.

Надеюсь, это решение будет полезным для понимания школьником.