Какова площадь фигуры, заключенной между кривыми y=-1/2^2+x+5 1/2 и y=x^2-2x+1?

Ястребок

26

Для начала, давайте визуализируем данные кривые, чтобы лучше понять, какая фигура образуется между ними.

Сначала рассмотрим первую кривую \(y = -\frac{1}{2^2} + x + 5\). Чтобы построить эту кривую, мы можем использовать таблицу значений. Заметим, что в данном случае это уравнение прямой. Найдем несколько точек, подставив различные значения для \(x\):

\[
\begin{align*}
x &= 0: & y &= -\frac{1}{2^2} + 0 + 5 = 4.75 \\
x &= 1: & y &= -\frac{1}{2^2} + 1 + 5 = 5.25 \\
x &= 2: & y &= -\frac{1}{2^2} + 2 + 5 = 5.75 \\
\end{align*}
\]

Исходя из этих значений, мы можем построить точки на координатной плоскости и соединить их. Полученная линия будет первой кривой.

Теперь рассмотрим вторую кривую \(y = x^2 - 2x + 1\). Это квадратичная функция, которая может быть представлена в виде графика параболы. Точно так же, как и для первой кривой, найдем несколько точек, записав значения \(y\) для разных значений \(x\):

\[
\begin{align*}
x &= 0: & y &= 0^2 - 2 \cdot 0 + 1 = 1 \\
x &= 1: & y &= 1^2 - 2 \cdot 1 + 1 = 0 \\
x &= 2: & y &= 2^2 - 2 \cdot 2 + 1 = 1 \\
\end{align*}
\]

Подставив полученные значения в координатную плоскость, мы сможем получить вторую кривую параболы.

Теперь, имея графики обеих кривых, мы можем определить площадь фигуры между ними. Для равенства \(y\), мы должны найти точки, где эти две кривые пересекаются. Эти точки являются границами для вычисления площади.

Для нахождения точек пересечения, равняем уравнения друг другу:

\[
-\frac{1}{2^2} + x + 5\frac{1}{2} = x^2 - 2x + 1
\]

Приведем уравнение к квадратному виду:

\[
x^2 - 2x + 1 + \frac{1}{2^2} - x - 5\frac{1}{2} = 0
\]

Упростим:

\[
x^2 - 3x - 9 = 0
\]

Теперь решим это квадратное уравнение, используя метод дискриминанта:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

В данном случае \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -9\). Подставим это в формулу:

\[
x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1}
\]

После вычислений, получаем два значения для \(x\):

\[
x_1 \approx -1.83 \quad \text{и} \quad x_2 \approx 4.83
\]

Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для этих двух точек, подставив их в одно из исходных уравнений:

\[
y_1 = -\frac{1}{2^2} + (-1.83) + 5\frac{1}{2} \approx 2.73
\]
\[
y_2 = -\frac{1}{2^2} + 4.83 + 5\frac{1}{2} \approx 11.73
\]

Итак, у нас есть две точки пересечения: \((-1.83, 2.73)\) и \((4.83, 11.73)\).

Теперь мы можем рассчитать площадь фигуры, используя определенные границы. Обратите внимание, что эта фигура ограничена с нижней стороны графиком первой кривой, а с верхней стороны - графиком второй кривой. Мы можем разделить эту фигуру на две отдельные фигуры путем подсчета площадей каждой из них и затем складывая результаты.

Таким образом, площадь фигуры будет равна:

\[
S = S_1 + S_2
\]

где \(S_1\) - площадь фигуры, ограниченной первой кривой и осью \(x\) и \(S_2\) - площадь фигуры, ограниченной второй кривой и осью \(x\).

Теперь рассчитаем эти площади пошагово.

Для \(S_1\), это будет площадь под графиком первой кривой, выше оси \(x\) и между точками пересечения. Чтобы посчитать это, мы можем разделить эту фигуру на три части: две треугольные области и прямоугольную область между ними.

Для треугольных областей, площадь будет равна половине произведения основания на высоту. Основание треугольников - расстояние между точками пересечения (\(x_1\) и \(x_2\)), а высота - это значение \(y\) в точке пересечения.

\[
S_{1_{\text{треугольник}}} = \frac{1}{2} \cdot (x_2 - x_1) \cdot y_1 = \frac{1}{2} \cdot (4.83 - (-1.83)) \cdot 2.73
\]

Для прямоугольной области, площадь будет равна произведению длины и ширины прямоугольника. Длина - это разница между \(x_2\) и \(x_1\), а ширина - это разница между максимальным значением \(y\) на графике первой кривой и осью \(x\).

\[
S_{1_\text{прямоугольник}} = (x_2 - x_1) \cdot (5.75 - 0)
\]

Теперь сложим площади треугольников и прямоугольника, чтобы получить общую площадь для \(S_1\):

\[
S_1 = S_{1_{\text{треугольник}}} + S_{1_\text{прямоугольник}}
\]

Для \(S_2\) мы будем поступать аналогично, но используя график второй кривой и границы \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\).

После всех этих вычислений мы получим площадь фигуры, заключенной между кривыми \(y = -\frac{1}{2^2} + x + 5\frac{1}{2}\) и \(y = x^2 - 2x + 1\). Мы можем подставить численные значения, которые мы нашли ранее, вместо переменных, чтобы получить окончательное число.

Я понимаю, что это может быть сложно для школьника, поэтому, если вы предпочитаете, я могу помочь вам найти численное значение площади, используя калькулятор или компьютерную программу для численного интегрирования. Пожалуйста, сообщите мне ваше решение.