Какова площадь криволинейной трапеции, которая образуется между прямыми x=0, x=2, осью Ox и графиком функции

Skvoz_Les

5

Для решения данной задачи, мы должны вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \(f(x)\), осью Ox, и вертикальными прямыми \(x = 0\) и \(x = 2\).

Первым шагом необходимо найти точки пересечения графика функции \(f(x)\) с вертикальными прямыми \(x = 0\) и \(x = 2\). Подставим \(x = 0\) и \(x = 2\) в уравнение графика функции:

Для \(x = 0\):
\[f(0) = 0^3 + 1 = 1\]

Для \(x = 2\):
\[f(2) = 2^3 + 1 = 9\]

Теперь у нас есть две точки: (0, 1) и (2, 9), через которые проходит график функции \(f(x)\).

Для определения высоты трапеции, нужно найти разность \(y\)-координат этих двух точек:
\[h = 9 - 1 = 8\]

Теперь нам нужно вычислить длину оснований трапеции. Основаниями будут отрезки, которые соединяются вертикальными прямыми \(x = 0\) и \(x = 2\) с графиком функции \(f(x)\).

Чтобы найти длину основания \(a\), нужно найти расстояние между вертикальной осью \(x = 0\) и точкой пересечения (0, 1). Данное расстояние равно \(1\) (можно увидеть из графика).

Аналогично, для нахождения длины основания \(b\), нужно вычислить расстояние между вертикальной осью \(x = 2\) и точкой пересечения (2, 9). Данное расстояние тоже равно \(1\).

Таким образом, мы получаем, что длина оснований трапеции равна \(a = b = 1\).

Теперь, чтобы найти площадь криволинейной трапеции, воспользуемся формулой:
\[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]

Подставив значения \(a = b = 1\) и \(h = 8\), получим:
\[S = \frac{{1 + 1}}{2} \cdot 8 = 4 \cdot 8 = 32\]

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми \(x = 0\), \(x = 2\), осью Ox и графиком функции \(f(x) = x^3 + 1\), равна \(32\) квадратным единицам.