Як можна знайти площу меншого трикутника, якщо сторони двох правильних трикутників відносяться як 4:7, а площа більшого

Zagadochnyy_Kot

45

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать знания о соотношении площадей подобных фигур.

Пусть сторона меньшего треугольника равна \(x\) см. Тогда сторона большего треугольника будет равна \(\frac{7}{4}x\) см, так как стороны этих треугольников относятся как 4:7.

Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу:
\[S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\]

Так как треугольник правильный, его высота является биссектрисой, разделяющей основание на две равные части.

Теперь, чтобы найти площадь большего треугольника, мы можем использовать формулу:
\[S_{\text{большего}} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{7}{4}x\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x\]

Поскольку площадь большего треугольника равна 98 см², мы можем составить уравнение:
\[\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{7}{4}x\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x = 98\]

Решив это уравнение относительно \(x\), получим значение стороны меньшего треугольника. Из этого можно будет найти площадь меньшего треугольника, применяя формулу для площади.

Давайте вычислим его пошагово:

1. Уравнение площади большего треугольника:
\[\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{7}{4}x\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x = 98\]

2. Упрощаем уравнение:
\[\frac{7}{16} \cdot \sqrt{3} \cdot x^2 = 98\]

3. Умножаем обе стороны уравнения на \(\frac{16}{7}\):
\[\sqrt{3} \cdot x^2 = \frac{16 \cdot 98}{7}\]

4. Делим обе стороны уравнения на \(\sqrt{3}\):
\[x^2 = \frac{16 \cdot 98}{7 \cdot \sqrt{3}}\]

5. Извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения:
\[x = \sqrt{\frac{16 \cdot 98}{7 \cdot \sqrt{3}}}\]

6. Вычисляем значение \(x\) с помощью калькулятора:
\[x \approx 5,44\]

Таким образом, размер стороны меньшего треугольника равен примерно 5,44 см.

Теперь, чтобы найти площадь меньшего треугольника, мы можем использовать формулу для площади:
\[S_{\text{меньшего}} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x\]
\[S_{\text{меньшего}} = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{3} \cdot x^2\]
\[S_{\text{меньшего}} = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{3} \cdot (5,44)^2\]
\[S_{\text{меньшего}} \approx 22,71 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь меньшего треугольника составляет примерно 22,71 см².