Какова площадь квадрата, если две его вершины расположены на оси абсцисс, а другие две вершины лежат на параболе

Грей

3

Хорошо! Давайте решим задачу о площади квадрата, у которого две вершины находятся на оси абсцисс, а другие две вершины на параболе \(y=15-x^2\).

Чтобы найти площадь квадрата, нам необходимо знать его сторону. Для этого мы должны найти координаты вершин квадрата. Давайте начнем с найденя точек пересечения квадрата с параболой.

У нас есть две вершины квадрата на оси абсцисс, поэтому координаты этих вершин могут быть записаны в виде \((x_1, 0)\) и \((x_2, 0)\), где \(x_1\) и \(x_2\) - это координаты этих вершин.

Поскольку квадрат симметричен относительно оси абсцисс, у нас будет другая пара вершин квадрата в виде \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), где \(y_1\) и \(y_2\) - это координаты этих вершин. Теперь мы должны найти значения \(y_1\) и \(y_2\).

Подставим координаты в уравнение параболы: \(y=15-x^2\). Для первой вершины имеем \(y_1 = 15 - x_1^2\), а для второй вершины \(y_2 = 15 - x_2^2\).

Таким образом, у нас есть четыре уравнения, которые представляют точки пересечения квадрата с параболой:

1) \((x_1, 0)\) находится на параболе: \(0 = 15 - x_1^2\),
2) \((x_2, 0)\) находится на параболе: \(0 = 15 - x_2^2\),
3) \((x_1, y_1)\) находится на параболе: \(y_1 = 15 - x_1^2\),
4) \((x_2, y_2)\) находится на параболе: \(y_2 = 15 - x_2^2\).

Давайте начнем с уравнения 1). Решим это уравнение относительно \(x_1\):

\[0 = 15 - x_1^2\]

Вычитаем 15 из обеих сторон:

\[x_1^2 = 15\]

Извлекаем квадратный корень:

\[x_1 = \pm\sqrt{15}\]

Теперь перейдем к уравнению 2):

\[0 = 15 - x_2^2\]

Вычитаем 15 из обеих сторон:

\[x_2^2 = 15\]

Извлекаем квадратный корень:

\[x_2 = \pm\sqrt{15}\]

Следующим шагом является решение уравнений 3) и 4) для нахождения \(y_1\) и \(y_2\):

Для \(y_1\):

\[y_1 = 15 - x_1^2\]

Подставляем \(x_1 = \sqrt{15}\) и \(x_1 = -\sqrt{15}\):

\[y_1 = 15 - (\sqrt{15})^2 = 15 - 15 = 0\]
\[y_1 = 15 - (-\sqrt{15})^2 = 15 - 15 = 0\]

Для \(y_2\):

\[y_2 = 15 - x_2^2\]

Подставляем \(x_2 = \sqrt{15}\) и \(x_2 = -\sqrt{15}\):

\[y_2 = 15 - (\sqrt{15})^2 = 15 - 15 = 0\]
\[y_2 = 15 - (-\sqrt{15})^2 = 15 - 15 = 0\]

Теперь у нас есть все координаты вершин квадрата:

\((\sqrt{15}, 0)\), \((-\sqrt{15}, 0)\), \((\sqrt{15}, 0)\), \((-\sqrt{15}, 0)\)

Известно, что сторона квадрата равна расстоянию между двумя вершинами на оси абсцисс. Поскольку \(x_1 = \sqrt{15}\) и \(x_2 = -\sqrt{15}\), расстояние между этими точками будет:

\[d = \sqrt{(\sqrt{15} - (-\sqrt{15}))^2}\]

Упрощаем:

\[d = \sqrt{(\sqrt{15} + \sqrt{15})^2}\]

\[d = \sqrt{(2\sqrt{15})^2}\]

\[d = \sqrt{4 \cdot 15}\]

\[d = \sqrt{60}\]

\[d = 2\sqrt{15}\]

Теперь у нас есть значение стороны квадрата. Чтобы найти его площадь, возведем эту сторону в квадрат:

\[S = (2\sqrt{15})^2\]

\[S = 4 \cdot 15\]

\[S = 60\]

Таким образом, площадь квадрата, у которого две вершины находятся на оси абсцисс, а другие две вершины на параболе \(y=15-x^2\), равна 60.