Найти, в какой области определена функция Z=1/(r^2-x^2-y^2

Щавель

24

Данная функция \(Z = \frac{1}{r^2 - x^2 - y^2}\) определена в трехмерном пространстве. Чтобы определить область определения этой функции, нужно выяснить, при каких значениях \(r\), \(x\), и \(y\) знаменатель функции не равен нулю (поскольку делить нельзя на ноль).

Заметим, что \(r\), \(x\), и \(y\) могут принимать любые действительные значения. Однако, нам нужно учитывать, что в знаменателе у нас есть выражение \(r^2 - x^2 - y^2\).

Чтобы функция была определена, нужно, чтобы знаменатель не равнялся нулю, то есть:

\[r^2 - x^2 - y^2 \neq 0\]

Нам известно, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (\(r^2 \geq 0\), \(x^2 \geq 0\), \(y^2 \geq 0\)). Таким образом, вычитая неотрицательные числа из \(r^2\), результат также будет неотрицателен.

Таким образом, наша функция будет определена во всем трехмерном пространстве, за исключением случая, когда \(r^2 - x^2 - y^2 = 0\). То есть область определения функции \(Z\) - это все трехмерное пространство без точки, где \(r^2 = x^2 + y^2\).

Если рассмотреть это геометрически, заданная функция \(Z\) определена внутри шара радиуса, отличного от нуля, с центром в начале координат.