Какова площадь многоугольника, образованного соединением точек (1,0), (1,1), (2,4), (1,3), (0,5), (0,2) на координатной

Mariya

43

Чтобы найти площадь многоугольника, образованного этими точками на координатной плоскости, мы можем использовать формулу площади Гаусса.

Первым шагом нужно упорядочить точки таким образом, чтобы они следовали друг за другом в порядке, образуя замкнутую фигуру. В данном случае, можно начать от точки (1, 0) и обойти многоугольник вдоль его границы: (1,0) - (1,1) - (2,4) - (1,3) - (0,5) - (0,2).

Теперь, чтобы вычислить площадь многоугольника по формуле Гаусса, нужно просуммировать площади трапеций, образованных каждой парой последовательных точек и осью абсцисс:

\[S = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} (x_i \cdot y_{i+1} - x_{i+1} \cdot y_i)\]

где \(n\) - количество вершин (точек) многоугольника, \(x_i\) и \(y_i\) - координаты точки \((x,y)\) по порядку обхода.

В данной задаче, мы имеем следующие координаты:

\[
\begin{align*}
x_1 &= 1 \\
y_1 &= 0 \\
x_2 &= 1 \\
y_2 &= 1 \\
x_3 &= 2 \\
y_3 &= 4 \\
x_4 &= 1 \\
y_4 &= 3 \\
x_5 &= 0 \\
y_5 &= 5 \\
x_6 &= 0 \\
y_6 &= 2 \\
\end{align*}
\]

Теперь мы можем применить формулу Гаусса и найти площадь:

\[
\begin{align*}
S &= \frac{1}{2} \left( x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1 + x_2 \cdot y_3 - x_3 \cdot y_2 + x_3 \cdot y_4 - x_4 \cdot y_3 + x_4 \cdot y_5 - x_5 \cdot y_4 + x_5 \cdot y_6 - x_6 \cdot y_5 + x_6 \cdot y_1 - x_1 \cdot y_6 \right) \\
&= \frac{1}{2} \left( 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 + 1 \cdot 4 - 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 4 + 1 \cdot 5 - 0 \cdot 3 + 0 \cdot 2 - 0 \cdot 5 + 0 \cdot 1 - 1 \cdot 2 \right) \\
&= \frac{1}{2} \left( 1 + 4 + 6 + 5 - 6 - 5 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 2 \right) \\
&= \frac{1}{2} \cdot 4 \\
&= 2 \quad \text{единицы площади}
\end{align*}
\]

Итак, площадь этого многоугольника равна 2 единицам площади.