Какова площадь области, которая ограничена кривыми y=x^3, y=2x-x^2 и осью

Сказочная_Принцесса

15

У нас есть три кривые: \(y = x^3\), \(y = 2x - x^2\) и \(y = 0\) (ось OX). Мы хотим найти площадь области, которая ограничена этими кривыми.

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала найдем точки пересечения кривых. Для этого приравняем выражения для y и решим полученное квадратное уравнение:

\(x^3 = 2x - x^2\)

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения и получим:

\(x^3 + x^2 - 2x = 0\)

Факторизуем это уравнение:

\(x(x^2 + x - 2) = 0\)

Теперь найдем корни этого уравнения. Один из корней уже известен, это \(x = 0\). Для нахождения остальных корней решим уравнение \(x^2 + x - 2 = 0\) с помощью квадратного корня или метода дискриминанта.

Формула дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\)

В нашем случае, a = 1, b = 1, c = -2. Подставим значения в формулу и рассчитаем дискриминант:

\(D = (1)^2 - 4(1)(-2)\)

\(D = 1 + 8\)

\(D = 9\)

Теперь рассчитаем корни уравнения:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2}\)

\(x_1 = \frac{-1 + 3}{2}\)

\(x_1 = \frac{2}{2}\)

\(x_1 = 1\)

\(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2}\)

\(x_2 = \frac{-1 - 3}{2}\)

\(x_2 = \frac{-4}{2}\)

\(x_2 = -2\)

Итак, мы нашли три точки пересечения кривых: (0,0), (1,1) и (-2,0).

Теперь, чтобы найти площадь области между кривыми, мы можем использовать определенный интеграл:

\(S = \int_{-2}^{0} (2x-x^2)dx + \int_{0}^{1} (x^3 - 2x + x^2)dx\)

Рассчитаем первый интеграл:

\(\int_{-2}^{0} (2x-x^2)dx\)

\(\int_{-2}^{0} 2x \, dx - \int_{-2}^{0} x^2 \, dx\)

\(x^2 \Big|_{-2}^{0} - \frac{x^3}{3} \Big|_{-2}^{0}\)

\((0)^2 - \frac{(0)^3}{3} - ((-2)^2 - \frac{(-2)^3}{3})\)

\(0 - 0 - (4 - \frac{-8}{3})\)

\(0 - 0 - (4 + \frac{8}{3})\)

\(0 - 0 - (\frac{12}{3} + \frac{8}{3})\)

\(0 - 0 - \frac{20}{3}\)

\(-\frac{20}{3}\)

Теперь рассчитаем второй интеграл:

\(\int_{0}^{1} (x^3 - 2x + x^2)dx\)

\(\int_{0}^{1} x^3 \, dx - \int_{0}^{1} 2x \, dx + \int_{0}^{1} x^2 \, dx\)

\(\frac{x^4}{4} \Big|_{0}^{1} - x^2 \Big|_{0}^{1} + \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{1}\)

\(\frac{(1)^4}{4} - (1)^2 - \frac{(1)^3}{3} - (\frac{(0)^4}{4} - (0)^2 - \frac{(0)^3}{3})\)

\(\frac{1}{4} - 1 - \frac{1}{3} - (0 - 0 - 0)\)

\(\frac{1}{4} - \frac{12}{12} - \frac{4}{12} \)

\(\frac{1}{4} - \frac{12+4}{12}\)

\(\frac{1}{4} -\frac{16}{12}\)

\(\frac{1}{4} - \frac{4}{3}\)

\(\frac{3}{12} - \frac{16}{12}\)

\(-\frac{13}{12}\)

Теперь сложим значения обоих интегралов, чтобы получить искомую площадь:

\(-\frac{20}{3} - \frac{13}{12}\)

Чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю:

\(-\frac{80}{12} - \frac{13}{12}\)

\(-\frac{93}{12}\)

Финальный ответ: площадь области, ограниченной кривыми \(y=x^3\), \(y=2x-x^2\) и \(y=0\), равна \(-\frac{93}{12}\).