Какова площадь области, ограниченной графиком уравнения y=4x-x^2, прямой y=5 и вертикальными линиями x=0 и x=3? У меня

Шоколадный_Ниндзя

42

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Для начала, нам нужно построить график уравнения \(y = 4x - x^2\) и прямых \(y = 5\), \(x = 0\) и \(x = 3\), чтобы понять, какую область мы ищем. Давайте начнем с графика уравнения \(y = 4x - x^2\).

Чтобы построить график, мы можем построить некоторые координатные точки, подставив различные значения \(x\) в уравнение и находя соответствующие значения \(y\). Вот таблица значений:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y = 4x - x^2 \\
\hline
0 & 0 \\
1 & 3 \\
2 & 4 \\
3 & 3 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь мы можем построить график, используя эти точки:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={x},
ylabel={y},
xmin=0, xmax=4,
ymin=0, ymax=6,
grid=both,
axis lines=middle,
enlargelimits=true,
width=10cm,
height=6cm,
tick style={color=black},
xtick={0,1,2,3},
ytick={1,2,3,4,5}
]
\addplot[domain=0:3, samples=100, color=blue]{4*x - x^2};
\addplot[color=red]{5};
\draw[dotted] (3,0) -- (3,5);
\draw[dotted] (0,3) -- (3,3);
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Теперь наш график показывает уравнение \(y = 4x - x^2\) (синяя кривая), прямую \(y = 5\) (красная горизонтальная линия), и вертикальные линии \(x = 0\) и \(x = 3\) (пунктирные линии).

Мы ищем площадь области, ограниченной этими графиками, то есть площадь треугольника, образованного вертикальными линиями \(x = 0\), \(x = 3\) и прямой \(y = 5\), и площадь области, ограниченной графиком уравнения \(y = 4x - x^2\), прямой \(y = 5\) и вертикальной линией \(x = 3\).

Для расчета площади треугольника мы можем использовать формулу площади треугольника:

\[Площадь \: треугольника = \frac{{Основание \cdot Высота}}{2}\]

В нашем случае, основание треугольника это расстояние между вертикальными линиями \(x = 0\) и \(x = 3\), что равно 3, а высота треугольника это расстояние от прямой \(y = 5\) до графика уравнения \(y = 4x - x^2\) в точке \(x = 3\), что равно 4 - 3 = 1. Подставим эти значения в формулу:

\[Площадь \: треугольника = \frac{{3 \cdot 1}}{2} = \frac{3}{2}\]

Теперь приступим к расчету площади области, ограниченной графиком уравнения \(y = 4x - x^2\), прямой \(y = 5\) и вертикальной линией \(x = 3\).

Мы можем разделить эту область на две части: треугольник и площадь под кривой. Мы уже рассчитали площадь треугольника - \(\frac{3}{2}\). Теперь давайте рассчитаем площадь под кривой.

Мы можем использовать определенный интеграл, чтобы вычислить площадь под кривой. В данном случае, нас интересует площадь под графиком уравнения \(y = 4x - x^2\) и выше оси \(x\) в интервале от \(x = 0\) до \(x = 3\).

Записывая уравнение как функцию \(f(x) = 4x - x^2\), мы можем вычислить определенный интеграл:

\[
\int_{0}^{3} (4x - x^2) \, dx
\]

Вычислим этот интеграл:

\[
\int_{0}^{3} (4x - x^2) \, dx = \left[2x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{3} = \left[2 \cdot 3^2 - \frac{1}{3} \cdot 3^3\right] - \left[2 \cdot 0^2 - \frac{1}{3} \cdot 0^3\right] = \left[18 - 9\right] - \left[0 - 0\right] = 18 - 9 = 9
\]

Таким образом, площадь под кривой и выше оси \(x\) в интервале от \(x = 0\) до \(x = 3\) равна 9.

Теперь мы можем найти общую площадь области, ограниченной графиком уравнения \(y = 4x - x^2\), прямой \(y = 5\) и вертикальными линиями \(x = 0\) и \(x = 3\):

\[Общая \: площадь = Площадь \: треугольника + Площадь \: под \: кривой = \frac{3}{2} + 9 = \frac{6 + 18}{2} = \frac{24}{2} = 12\]

Таким образом, площадь области, ограниченной графиком уравнения \(y = 4x - x^2\), прямой \(y = 5\) и вертикальными линиями \(x = 0\) и \(x = 3\), составляет 12.