Какова площадь области, ограниченной параболой (x-1)^2 и прямой y=5+x?

Sonya

35

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Первым шагом нам необходимо найти точки пересечения параболы \((x-1)^2\) и прямой \(y=5+x\). Чтобы это сделать, приравняем уравнения параболы и прямой:

\[(x-1)^2 = 5+x\]

Раскроем квадрат на левой стороне уравнения:

\[x^2 - 2x + 1 = 5 + x\]

Теперь приведем подобные слагаемые:

\[x^2 - x - 4 = 0\]

Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем использовать квадратное уравнение, заметив, что коэффициент \(c = -4\), коэффициент \(b = -1\) и коэффициент \(a = 1\) (при \(x^2\)):

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2-4ac}}}}{{2a}}\]

Подставим значения в формулу:

\[x = \frac{{-(-1) \pm \sqrt{{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}}}{{2 \cdot 1}}\]

Упростим выражение:

\[x = \frac{{1 \pm \sqrt{17}}}{{2}}\]

Теперь у нас есть два значения \(x\): \(x_1 = \frac{{1 + \sqrt{17}}}{{2}}\) и \(x_2 = \frac{{1 - \sqrt{17}}}{{2}}\).

Чтобы найти соответствующие значения \(y\), можно подставить эти значения \(x\) в уравнение \(y = 5 + x\):

\[
\begin{align*}
y_1 &= 5 + \frac{{1 + \sqrt{17}}}{{2}} \\
y_2 &= 5 + \frac{{1 - \sqrt{17}}}{{2}}
\end{align*}
\]

Чтобы найти точки пересечения, запишем их в виде координат: \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\).

Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти площадь области, ограниченной параболой \((x-1)^2\) и прямой \(y=5+x\). Она ограничена двумя вертикальными прямыми, проходящими через точки пересечения. Воспользуемся геометрическим подходом для нахождения площади.

Первым шагом нарисуем графики параболы и прямой и найдем точки пересечения:

\[ y = (x-1)^2 \quad \text{и} \quad y = 5+x \]
\[ \text{точки пересечения:} \quad (x_1, y_1) \quad \text{и} \quad (x_2, y_2) \]

Теперь проведем вертикальные прямые через точки пересечения и получим прямоугольную область, ограниченную этими двумя вертикальными прямыми, параболой и прямой:

\[ \text{Площадь} = \text{длина} \times \text{ширина} \]

Длина области: \( \left| x_1 - x_2 \right| \)

Ширина области: \( \left| y_1 - y_2 \right| \)

Теперь, подставим значения:

\[ \text{Площадь} = \left| x_1 - x_2 \right| \times \left| y_1 - y_2 \right| \]

Вычислим это выражение, используя найденные ранее значения \(x_1\), \(x_2\), \(y_1\), \(y_2\):

\[ \text{Площадь} = \left| \frac{{1 + \sqrt{17}}}{{2}} - \frac{{1 - \sqrt{17}}}{{2}} \right| \times \left| (5 + \frac{{1 + \sqrt{17}}}{{2}}) - (5 + \frac{{1 - \sqrt{17}}}{{2}}) \right| \]

\[ \text{Площадь} = \left| \sqrt{17} \right| \times \left| \frac{{2\sqrt{17}}}{{2}} \right| \]

\[ \text{Площадь} = 17 \]

Таким образом, площадь области, ограниченной параболой \((x-1)^2\) и прямой \(y=5+x\), равна 17.