Какова площадь области, показанной на рисунке, которая ограничена четырьмя дугами окружностей с центрами в вершинах

Misticheskiy_Podvizhnik

52

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим каждую дугу окружности по отдельности и вычислим площадь каждой из них.

Первая дуга окружности:
Начнем с нахождения радиуса данной окружности. Поскольку центр окружности находится в вершине квадрата, а сторона квадрата равна одной единице, то расстояние от центра окружности до одной из сторон равно половине длины стороны квадрата, то есть \(0.5\) единицы.
Теперь вычислим длину дуги окружности, используя формулу дуги окружности, где \(r\) - это радиус окружности, а \(θ\) - это центральный угол дуги.
Длина дуги окружности выражается следующим образом: \(l = rθ\), где \(θ\) измеряется в радианах. В этом случае, угол дуги составляет \(90^\circ\) или \(\frac{{\pi}}{{2}}\) радиан.
Подставив значения, получим длину первой дуги: \(l_1 = 0.5 \cdot \frac{{\pi}}{{2}} = \frac{{\pi}}{{4}}\).
Теперь мы можем вычислить площадь сектора, образованного дугой и радиусом. Площадь сектора окружности выражается формулой: \(A = \frac{{1}}{{2}} r^2 θ\).
Подставив значения, получим площадь первой дуги: \(A_1 = \frac{{1}}{{2}} \cdot 0.5^2 \cdot \frac{{\pi}}{{2}} = \frac{{\pi}}{{16}}\).

Таким образом, площадь первой дуги равна \(\frac{{\pi}}{{16}}\) единиц квадратных.

Аналогично, вычислим площади оставшихся трех дуг окружностей.

Вторая дуга окружности:
Радиус второй окружности также равен \(0.5\) единицам. Длина дуги равна длине первой дуги окружности, то есть \(l_2 = \frac{{\pi}}{{4}}\). Таким образом, площадь второй дуги равна \(A_2 = \frac{{\pi}}{{16}}\) единиц квадратных.

Третья дуга окружности:
Радиус третьей окружности также равен \(0.5\) единицам. Длина дуги равна длине первой дуги окружности, то есть \(l_3 = \frac{{\pi}}{{4}}\). Следовательно, площадь третьей дуги равна \(A_3 = \frac{{\pi}}{{16}}\) единиц квадратных.

Четвертая дуга окружности:
Радиус четвертой окружности также равен \(0.5\) единицам. Длина дуги равна длине первой дуги окружности, то есть \(l_4 = \frac{{\pi}}{{4}}\). Поэтому площадь четвертой дуги равна \(A_4 = \frac{{\pi}}{{16}}\) единиц квадратных.

Наконец, чтобы найти площадь области, ограниченной всеми четырьмя дугами окружностей, добавим площади каждой дуги:

\(А = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 = \frac{{\pi}}{{16}} + \frac{{\pi}}{{16}} + \frac{{\pi}}{{16}} + \frac{{\pi}}{{16}} = \frac{{4\pi}}{{16}} = \frac{{\pi}}{{4}}\)

Таким образом, площадь области, ограниченной четырьмя дугами окружностей, равна \(\frac{{\pi}}{{4}}\) квадратных единиц.