Какова площадь области, заключенной между параболами y=x^2 и y=x^3/3?

Oblako

68

Для начала, давайте нарисуем графики обоих парабол на координатной плоскости. Это поможет нам представить себе область, заключенную между ними.

\[
\begin{align*}
y = x^2 \\
y = \frac{x^3}{3}
\end{align*}
\]

Теперь, чтобы найти площадь области между этими двумя параболами, мы должны найти точки пересечения графиков. Решим уравнение \(x^2 = \frac{x^3}{3}\) для нахождения этих точек.

\[
\begin{align*}
x^2 &= \frac{x^3}{3} \\
3x^2 &= x^3 \\
x^3 - 3x^2 &= 0 \\
x^2(x - 3) &= 0
\end{align*}
\]

Отсюда мы можем найти две точки пересечения: \(x = 0\) и \(x = 3\). Подставим эти значения обратно в уравнения и найдем соответствующие значения \(y\).

Для \(x = 0\):
\[
y = (0)^2 = 0
\]

Для \(x = 3\):
\[
y = (3)^2 = 9
\]

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (0, 0) и (3, 9).

Теперь, чтобы найти площадь области между параболами, мы должны вычислить интеграл разности функций \(y = x^2\) и \(y = \frac{x^3}{3}\) на интервале [0, 3].

\[
\text{Площадь} = \int_{0}^{3} (x^2 - \frac{x^3}{3})dx
\]

Возьмем данный интеграл:

\[
\begin{align*}
\int_{0}^{3} (x^2 - \frac{x^3}{3})dx &= \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{12}\right]_{0}^{3} \\
&= \left(\frac{3^3}{3} - \frac{3^4}{12}\right) - \left(\frac{0^3}{3} - \frac{0^4}{12}\right) \\
&= \left(\frac{27}{3} - \frac{81}{12}\right) - \left(\frac{0}{3} - \frac{0}{12}\right) \\
&= (9 - \frac{81}{4}) - (0 - 0) \\
&= (9 - \frac{81}{4}) \\
&= \frac{36}{4} - \frac{81}{4} \\
&= \frac{-45}{4}
\end{align*}
\]

Таким образом, площадь области, заключенной между параболами \(y = x^2\) и \(y = \frac{x^3}{3}\), равна \(\frac{-45}{4}\) или -11.25.