Найти все значения x, при которых уравнение 1—2cosx=0 имеет корни внутри интервала

Zvonkiy_Elf

32

Конечно! Давайте решим данное уравнение пошагово.

У нас есть уравнение \(1 - 2\cos(x) = 0\). Чтобы найти значения \(x\), при которых уравнение имеет корни внутри интервала, нужно найти все \(x\) внутри интервала, при которых \(1 - 2\cos(x) = 0\).

Давайте начнем с выражения \(\cos(x)\). Для того, чтобы найти значения \(x\), при которых уравнение имеет корни, мы должны найти значения \(\cos(x)\), при которых \(1 - 2\cos(x) = 0\).

Решим уравнение \(1 - 2\cos(x) = 0\) относительно \(\cos(x)\):

\[1 - 2\cos(x) = 0\]
\[2\cos(x) = 1\]
\[\cos(x) = \frac{1}{2}\]

Так как мы ищем значения \(\cos(x)\), которые равны \(\frac{1}{2}\), мы должны найти обратную функцию косинуса для этого значения. Обозначим это как \(\cos^{-1}\) или \(\arccos\).

Итак, чтобы найти значения \(x\), для которых \(\cos(x) = \frac{1}{2}\), мы используем \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\).

\(\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\) дает нам два возможных значения \(\frac{\pi}{3}\) и \(\frac{5\pi}{3}\). Поскольку мы ищем значения \(x\) на интервале отнюдь не всей числовой оси, а на некотором ограниченном интервале, нам нужно уточнить, на каком интервале уравнение имеет корни.

Интервалы для значения \(x\) можно получить, если представить График функции \(\cos(x)\), а затем найти, где она пересекает горизонтальную линию \(y = \frac{1}{2}\).

График функции \(\cos(x)\) нам известен. Он имеет период \(2\pi\) и колеблется между -1 и 1. Так как мы ищем значения, когда \(\cos(x)\) равно \(\frac{1}{2}\), нам нужно найти, где график пересекает горизонтальную линию \(y = \frac{1}{2}\) в пределах одного периода графика функции \(\cos(x)\).

Первое пересечение происходит, когда \(x = \frac{\pi}{3}\), а второе пересечение - когда \(x = \frac{5\pi}{3}\).

Таким образом, значения \(x\), при которых уравнение \(1 - 2\cos(x) = 0\) имеет корни внутри интервала, находятся на интервале \(\left(\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right)\).

Я надеюсь, что это подробное объяснение помогло вам понять, как найти все значения \(x\), при которых уравнение имеет корни внутри интервала. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!