Какова площадь, ограниченная кривыми у = х² и у = –х

Ледяная_Душа

21

Хорошо, давайте вместе решим задачу о нахождении площади, ограниченной кривыми \(y = x^2\) и \(y = -x\).

Для начала, найдем точки пересечения этих двух кривых, чтобы определить границы интегрирования. Для этого, приравняем уравнения к друг другу:

\[x^2 = -x\]

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

\[x^2 + x = 0\]

Теперь факторизуем уравнение:

\[x(x + 1) = 0\]

Отсюда получаем два возможных значения \(x\): \(x = 0\) и \(x = -1\).

Итак, точки пересечения кривых находятся в точках \((0, 0)\) и \((-1, 1)\).

Для определения границ интегрирования по оси \(x\) возьмем эти две точки пересечения: \(x = -1\) и \(x = 0\).

Затем, чтобы найти площадь, ограниченную кривыми, мы можем воспользоваться определенным интегралом. Поскольку у нас есть две кривые, нам нужно взять интеграл площади между ними.

Для этого выразим верхний и нижний пределы интегрирования через \(x\).

Верхняя кривая \(y = x^2\) находится над \(y = -x\) в области, которую мы рассматриваем. Таким образом, верхний предел интегрирования будет \(y = x^2\), а нижний предел - \(y = -x\).

Теперь мы можем записать интеграл для нахождения площади:

\[S = \int_{-1}^{0} (x^2 - (-x)) dx\]

Проинтегрируем это:

\[S = \int_{-1}^{0} (x^2 + x) dx\]

\[S = \left[\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2\right]_{-1}^{0}\]

\[S = \left(\frac{1}{3} \cdot 0^3 + \frac{1}{2} \cdot 0^2\right) - \left(\frac{1}{3} (-1)^3 + \frac{1}{2} (-1)^2\right)\]

\[S = \left(0 + 0\right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right)\]

Упростим выражение:

\[S = \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{3}\right)\]

\[S = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\]

\[S = \frac{5}{6}\]

Таким образом, площадь, ограниченная кривыми \(y = x^2\) и \(y = -x\), равна \(\frac{5}{6}\) квадратных единиц.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять процесс решения этой задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь обращаться!