Какова площадь основания конуса, если площадь его осевого сечения равна 6√3 и угол наклона образующей к плоскости

Zhuravl_3112

40

Чтобы найти площадь основания конуса, мы можем использовать формулу площади осевого сечения конуса. Формула для площади осевого сечения выглядит следующим образом:

\[S_{\text{осевого}} = \pi r^2\]

где \(S_{\text{осевого}}\) - площадь осевого сечения, а \(r\) - радиус основания конуса.

В данной задаче мы знаем, что \(S_{\text{осевого}} = 6\sqrt{3}\).

Также известно, что угол наклона образующей к плоскости основания составляет 60 градусов. Образующая конуса является гипотенузой прямоугольного треугольника с основанием радиуса \(r\) и углом наклона 60 градусов.

Мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса, чтобы найти значение высоты конуса, которая является другой стороной этого треугольника.

\[\sin(60^\circ) = \frac{\text{высота}}{\text{образующая}}\]

Поскольку значение синуса 60 градусов составляет \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), мы можем записать уравнение следующим образом:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\text{высота}}{\text{образующая}}\]

Для удобства, домножим обе стороны уравнения на \(\frac{2}{\sqrt{3}}\):

\[1 = \frac{\text{высота}}{\text{образующая}}\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[S_{\text{осевого}} = \pi r^2 \quad \text{(1)}\]
\[1 = \frac{\text{высота}}{\text{образующая}} \quad \text{(2)}\]

У нас есть система уравнений с двумя неизвестными \(r\) и \(h\). Чтобы решить эту систему, мы можем сначала выразить \(h\) с помощью уравнения (2) и подставить полученное выражение для \(h\) в уравнение (1):

\[h = \text{образующая}\]

Теперь подставим этот результат в уравнение (1):

\[S_{\text{осевого}} = \pi r^2\]
\[6\sqrt{3} = \pi r^2\]

Для решения этого уравнения относительно \(r\) мы выражаем \(r\):

\[r^2 = \frac{6\sqrt{3}}{\pi}\]
\[r = \sqrt{\frac{6\sqrt{3}}{\pi}}\]

Полученный ответ представляет собой радиус основания конуса. Чтобы найти площадь основания, мы можем использовать формулу:

\[S_{\text{основания}} = \pi r^2\]
\[S_{\text{основания}} = \pi \left(\sqrt{\frac{6\sqrt{3}}{\pi}}\right)^2\]

Вычислив эту формулу, мы найдем площадь основания конуса.