Какова площадь полной поверхности данной треугольной пирамиды, у которой длина стороны основания равна 8

Solnechnyy_Bereg

52

Для решения этой задачи нам необходимо найти площадь полной поверхности треугольной пирамиды. Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади ее основания и площадей боковых граней.

Начнем с нахождения площади боковых граней пирамиды. Боковая грань треугольной пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник, с основанием, равным длине стороны основания пирамиды (8 см) и двугранным углом при этой стороне, равным 45 градусам.

Для нахождения площади такого треугольника, мы можем воспользоваться формулой площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \times a \times h\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) - длина основания треугольника, \(h\) - высота треугольника (расстояние от основания до вершины).

В нашем случае, длина основания треугольника равна 8 см. Нам нужно найти высоту треугольника.

Для этого мы можем разделить треугольник пополам, образовав два прямоугольных треугольника. Один из них будет прямоугольным, так как угол при основании равен 45 градусам.

Для нахождения высоты треугольника, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

\[h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\]

где \(h\) - высота треугольника, \(a\) - длина основания треугольника.

Подставим значения:

\[h = \sqrt{8^2 - \left(\frac{8}{2}\right)^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48}\]

Теперь у нас есть значение высоты треугольника, и мы можем найти площадь боковой грани пирамиды:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times a \times h = \frac{1}{2} \times 8 \times \sqrt{48} = 4 \sqrt{48}\]

Теперь, чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, нам нужно найти площадь ее основания. Основание пирамиды - это треугольник со стороной 8 см. Площадь равнобедренного треугольника можно вычислить, используя формулу:

\[S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2\]

где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды, \(a\) - длина стороны основания пирамиды.

Подставим значения:

\[S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64 = 16\sqrt{3}\]

Теперь мы можем найти площадь полной поверхности пирамиды, сложив площади основания и боковых граней:

\[S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + 4 \times S_{\text{бок}} = 16\sqrt{3} + 4(4\sqrt{48})\]

\[S_{\text{полн}} = 16\sqrt{3} + 16\sqrt{48} = 16\sqrt{3} + 16\sqrt{16 \times 3} = 16\sqrt{3} + 16 \times 4\sqrt{3}\]

\[S_{\text{полн}} = 16\sqrt{3} + 64\sqrt{3} = 80\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь полной поверхности данной треугольной пирамиды равна \(80\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.