Какова площадь полной поверхности пирамиды SABCD, если ее основание является параллелограммом со сторонами AB = 5

Pavel

38

Для решения этой задачи, мы можем использовать формулу для вычисления площади полной поверхности пирамиды. Полная поверхность пирамиды состоит из площади её основания и площадей боковых граней.

Для начала, нам нужно найти площадь основания пирамиды.
Поскольку основание пирамиды является параллелограммом, его площадь можно вычислить, умножив длину одной из сторон на высоту, опущенную на эту сторону.

В задаче даны стороны основания AB = 5 м, AD = 4 м и BD = 3 м, а высота равна Н. Давайте обозначим высоту как h.

Теперь вычислим площадь основания параллелограмма:
\[S_{\text{осн}} = AB \times h = 5 \, \text{м} \times h\]

Чтобы определить площадь боковых граней пирамиды, нам нужно найти площади треугольников SAB, SAD, SBC и SCD, которые составляют боковые грани. Каждый из этих треугольников представляет собой прямоугольный треугольник, так как высота пирамиды является высотой, опущенной на боковые ребра. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения площади каждого из этих треугольников.

Давайте начнем с треугольника SAB. Его площадь можно найти, используя формулу для площади прямоугольного треугольника:
\[S_{\text{SAB}} = \frac{1}{2} \times AB \times h = \frac{1}{2} \times 5 \, \text{м} \times h\]

Теперь вычислим площадь треугольника SAD:
\[S_{\text{SAD}} = \frac{1}{2} \times AD \times h = \frac{1}{2} \times 4 \, \text{м} \times h\]

Аналогично, площади треугольников SBC и SCD будут равны:
\[S_{\text{SBC}} = \frac{1}{2} \times BC \times h = \frac{1}{2} \times 3 \, \text{м} \times h\]
\[S_{\text{SCD}} = \frac{1}{2} \times CD \times h = \frac{1}{2} \times 4 \, \text{м} \times h\]

Таким образом, площадь боковых граней пирамиды равна сумме площадей треугольников SAB, SAD, SBC и SCD:
\[S_{\text{бок}} = S_{\text{SAB}} + S_{\text{SAD}} + S_{\text{SBC}} + S_{\text{SCD}}\]

Наконец, полная площадь поверхности пирамиды будет суммой площади основания и площади боковых граней:
\[S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}\]

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды SABCD равна:
\[S_{\text{полн}} = 5 \, \text{м} \times h + \left(\frac{1}{2} \times 5 \, \text{м} \times h + \frac{1}{2} \times 4 \, \text{м} \times h + \frac{1}{2} \times 3 \, \text{м} \times h + \frac{1}{2} \times 4 \, \text{м} \times h\right)\]

Теперь, когда у нас есть выражение для площади полной поверхности пирамиды, мы можем продолжить и вычислить её, используя заданную высоту H. Положим, H = 6 м. Подставим это значение в наше выражение для площади полной поверхности и произведем вычисления:

\[S_{\text{полн}} = 5 \, \text{м} \times 6 \, \text{м} + \left(\frac{1}{2} \times 5 \, \text{м} \times 6 \, \text{м} + \frac{1}{2} \times 4 \, \text{м} \times 6 \, \text{м} + \frac{1}{2} \times 3 \, \text{м} \times 6 \, \text{м} + \frac{1}{2} \times 4 \, \text{м} \times 6 \, \text{м}\right)\]
\[S_{\text{полн}} = 30 \, \text{м}^2 + \left(15 \, \text{м}^2 + 12 \, \text{м}^2 + 9 \, \text{м}^2 + 12 \, \text{м}^2\right)\]
\[S_{\text{полн}} = 30 \, \text{м}^2 + 48 \, \text{м}^2\]
\[S_{\text{полн}} = 78 \, \text{м}^2\]

Ответ: Площадь полной поверхности пирамиды SABCD равна 78 \, \text{м}^2.