Какова площадь полной поверхности пирамиды, у которой двугранный угол при ребре основания составляет 30 градусов

Зимний_Ветер

63

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. Прежде чем приступить к решению, давайте разберемся с некоторыми понятиями.

Полная поверхность пирамиды - это сумма площадей всех ее граней.

Чтобы ответить на вопрос, требуется вычислить площади всех граней пирамиды и сложить их. Для начала, нам нужно найти площадь основания и площадь боковой поверхности пирамиды.

1) Найдем площадь основания пирамиды. По условию задачи, радиус окружности, описанной вокруг основания, равен \(4\sqrt{3}\) см. Формула площади окружности: \(S = \pi r^2\), где \(S\) - площадь, \(\pi\) - число "пи" (примерно равно 3.14), а \(r\) - радиус окружности.

Подставим значения в формулу: \(S = \pi \cdot (4\sqrt{3})^2\).

Выполним вычисления: \(S = 3.14 \cdot 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2\). Упростим: \(S = 3.14 \cdot 16 \cdot 3\). Умножим числа и получим \(S = 150.72\) см².

Таким образом, площадь основания пирамиды составляет 150.72 см².

2) Найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Двугранный угол при ребре основания составляет 30 градусов. Боковые грани пирамиды образуют треугольники. Поскольку угол при основании пирамиды равен 30 градусам, это значит, что у нас равнобедренный треугольник.

Для нахождения площади треугольника используем формулу: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C\), где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - длины сторон треугольника, \(C\) - угол между этими сторонами.

Для нашего случая, \(a\) и \(b\) представляют собой ребра пирамиды, а \(C\) - двугранный угол при ребре основания (30 градусов). Поскольку треугольник равнобедренный, \(a\) и \(b\) равны.

Подставим значения в формулу: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin 30^\circ\).

Выполним вычисления: \(S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin 30^\circ\). Упростим: \(S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \frac{1}{2}\).

Если мы обозначим сторону треугольника как \(a\), то \(S = \frac{1}{4} \cdot a^2\).

У нас также есть радиус окружности, описанной вокруг основания пирамиды. Это равносторонний треугольник, и все его стороны равны радиусу окружности.

Изображение данного случая:

\[
\begin{array}{cccccccccc}
& & & & & & a & & & & \\
& & & & & / & | & \ & & & \\
& & & & / & & | & \ & & & \\
& & & / & & & | & & \ & & \\
& & / & & & & | & & & \ & \\
& / & & & & & | & & & & \ \\
& & & & & R & & & & & \\
& & & & & & & & & & \\
\end{array}
\]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна \(\frac{1}{4} \cdot (4\sqrt{3})^2\) или \(12\sqrt{3}\) см².

Теперь мы можем найти полную площадь поверхности пирамиды, сложив площадь основания и площадь боковой поверхности:

\(S_{\text{полная}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{боковая поверхность}} = 150.72 + 12\sqrt{3}\) см².

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды равна \(150.72 + 12\sqrt{3}\) см².

Надеюсь, эта детальная пошаговая разборка помогла вам понять, как найти площадь полной поверхности пирамиды с заданными параметрами. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.