Какова площадь полной поверхности правильного тетраэдра, если его ребро равно 1/4 ребра данного тетраэдра исходного?

Космическая_Панда

6

Для начала, давайте вспомним, что такое правильный тетраэдр. Правильный тетраэдр - это трехмерная геометрическая фигура, у которой все грани являются равносторонними треугольниками.

В данной задаче говорится, что ребро исходного тетраэдра равно 1/4 ребра данного тетраэдра. То есть, если обозначить ребро исходного тетраэдра как "a", то ребро данного тетраэдра будет равно 1/4 * a.

Теперь давайте найдем площадь полной поверхности правильного тетраэдра. Полная поверхность состоит из нескольких равносторонних треугольников.

Для правильного тетраэдра площадь одного равностороннего треугольника можно найти по формуле:

\[P = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}\]

Где "a" - длина стороны треугольника.

Теперь мы знаем, что ребро исходного тетраэдра равно "а", а ребро данного тетраэдра равно 1/4 * "а".

Таким образом, площадь одного треугольника исходного тетраэдра будет:

\[P_1 = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}\]

а площадь одного треугольника данного тетраэдра будет:

\[P_2 = \frac{{(1/4 a)^2 \sqrt{3}}}{4}\]

Теперь, чтобы найти площадь полной поверхности каждого тетраэдра, мы умножим площадь одного треугольника на количество треугольников на каждом тетраэдре.

У исходного тетраэдра есть 4 треугольника, поэтому его полная площадь поверхности будет:

\[S_1 = 4P_1 = 4(\frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4})\]

У данного тетраэдра также есть 4 треугольника, поэтому его полная площадь поверхности будет:

\[S_2 = 4P_2 = 4(\frac{{(1/4 a)^2 \sqrt{3}}}{4})\]

Теперь мы знаем формулы для площадей поверхностей обоих тетраэдров. Но нам нужно найти площадь исходного тетраэдра в зависимости от ребра "a". Для этого нам нужно выразить "а" через ребро данного тетраэдра, используя то, что ребро данного тетраэдра равно 1/4 * "а".

\[a = 4(1/4 a)\]

\[a = a\]

Значит, ребро исходного тетраэдра не изменилось относительно ребра данного тетраэдра.

Теперь мы можем подставить значение "a" в формулу для площадей поверхностей:

\[S_1 = 4(\frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}) = a^2 \sqrt{3}\]

Таким образом, площадь полной поверхности правильного тетраэдра равна \(a^2 \sqrt{3}\), где "a" - ребро тетраэдра.

Я надеюсь, что это пошаговое объяснение поможет вам понять, как была получена формула для площади поверхности тетраэдра. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их.