Какова площадь поверхности цилиндра, который описывается вокруг прямой призмы с прямоугольным треугольником в основании

Лисенок

34

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Первым шагом нам нужно найти высоту треугольника в основании прямой призмы. Так как у нас есть два катета, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу и, затем, определить высоту. Давайте найдем значение гипотенузы.

По теореме Пифагора:
\( c^2 = a^2 + b^2 \)

где a и b - длины катетов, c - длина гипотенузы.

Подставим значения a = 13 см и b = 17 см в формулу выше:
\( c^2 = 13^2 + 17^2 \)
\( c^2 = 169 + 289 \)
\( c^2 = 458 \)
\( c \approx \sqrt{458} \)
\( c \approx 21,4 \) см (округленно до одного десятка)

Таким образом, гипотенуза треугольника в основании составляет около 21,4 см.

2. Второй шаг - найти площадь поверхности цилиндра, описываемого вокруг прямоугольного треугольника в основании. Чтобы это сделать, нам нужно найти площадь боковой поверхности цилиндра и площадь двух оснований.

2.1. Площадь боковой поверхности цилиндра. Боковая поверхность цилиндра является прямоугольником, у которого длина стороны равна окружности основания, а ширина стороны равна высоте цилиндра. Поскольку окружность основания является периметром треугольника, умноженным на радиус, а высота цилиндра равна высоте треугольника в основании, мы можем вычислить площадь боковой поверхности цилиндра следующим образом:

\( S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h \)

где \( \pi \) - число Пи (приближенное значение 3,14), r - радиус цилиндра (половина гипотенузы), h - высота (высота треугольника в основании).

Подставим значения \( r \approx \frac{21,4}{2} = 10,7 \) см и \( h \approx 21,4 \) см в формулу выше:
\( S_{бок} = 2 \cdot 3,14 \cdot 10,7 \cdot 21,4 \)

\( S_{бок} \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 10,7 \cdot 21,4 \)
\( S_{бок} \approx 1436 \) см² (округленно до целых чисел)

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра составляет около 1436 см².

2.2. Площадь двух оснований цилиндра. Основания цилиндра являются прямоугольниками с размерами, равными длинам катетов треугольника в основании. Поэтому площадь каждого основания можно найти, умножив длину на ширину.

\( S_{осн} = a \cdot b \)

где a, b - длины катетов.

Подставим значения a = 13 см и b = 17 см в формулу выше:
\( S_{осн} = 13 \cdot 17 \)
\( S_{осн} = 221 \) см²

Таким образом, площадь двух оснований цилиндра составляет 221 см².

3. Наконец, нам нужно найти общую площадь поверхности цилиндра, сложив площадь боковой поверхности и площадь двух оснований.

\( S_{пов} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} \)
\( S_{пов} = 1436 + 2 \cdot 221 \)
\( S_{пов} = 1436 + 442 \)
\( S_{пов} = 1878 \) см²

Таким образом, площадь поверхности цилиндра, описываемого вокруг прямоугольного треугольника в основании, составляет 1878 см².

Надеюсь, этот детальный ответ помог вам понять, как решить данную задачу! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.